При переводе смешанных чисел целая и дробная части переводятся отдельно.

Общие положения

 

Лабораторные работы выполняются для того, чтобы лучше усвоить теоретический материал, излагаемый в лекциях, и научиться пользоваться этими знаниями для решения конкретных практических задач.

Результатом лабораторной работы является выполнение содержащихся в ней заданий, оформление отчета и представление отчета (защита) преподавателю.

Студент должен иметь отдельную тетрадь для лабораторных работ.

Отчет по каждой лабораторной работе должен начинаться с новой страницы и содержать следующее.

Þ Заголовок (Лабораторная работа №...).

Þ Тема работы.

Þ Задание.

Þ Результат выполнения задания.

Если заданий несколько, то последние два пункта повторяется столько раз, сколько заданий содержит работа.

Если необходимо, то ответы на контрольные вопросы записать в тетрадь для лабораторных работ.

Выполнение заданий лабораторной работы требует знания соответствующего теоретического материала, поэтому необходима предварительная подготовка к выполнению работы, заключающаяся в изучении соответствующих тем. Кроме того, на лабораторных занятиях нужно иметь лекции, содержащие требуемый теоретический материал.

 

 

Лабораторная работа № 1

 

Тема: системы счисления.

Цель работы. Получить представление о двоичной системе счисления, используемой в компьютерах и способах преобразования чисел из одной системы счисления в другую.

Теоретические предпосылки. Система счисления (СС) - способ записи (представления) чисел с помощью цифровых знаков. Количество цифр, используемых в СС, является основанием этой СС. В позиционных СС вес (значимость) цифры зависит от ее положения (позиции) в числе.

В общем виде число a_na_n-1 ... a₀,a_-1a_-2 ... a_-m в СС с основанием q, является разложением по степеням основания: a_na_n-1 ... a₀,a_-1a_-2 ... a_-m = a_n · qⁿ + a_n-1 · q^n-1 +...+ a₀ · q⁰ + a_-1 · q^-1 + a_-2 · q^-2 +... + a_-m· q^-m, где a_i - цифры СС.

Пример: 218 = 2·10² + 1·10¹ + 8·10⁰ = 200 + 10 + 8, основание СС q = 10.

Для записи числа, большего основания системы счисления q, требуется больше одной цифры (разряда).

Технические особенности компьютеров – только два устойчивых положения элементов, из которых состоит память и другие устройства компьютеров, - являются причиной использования в них именно двоичной СС. В этой СС, используя один разряд (одну цифру) можно записать только числа 0 и 1, а числа, большие 1, требуют большего количества разрядов. Так как в двоичной СС увеличение любого числа на два приводит к появлению в числе дополнительного разряда, то число в двоичной СС записывается с непривычным для нас большим количеством цифр.

Использование вспомогательных восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления для записи адресов, констант, команд обусловлено двумя причинами:

а) перевод чисел из двоичной СС в них и обратно прост;

б) длина записи числа сравнима с длиной числа в привычной нам десятичной СС.

Запишем некоторые десятичные числа и соответствующие эквиваленты в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной СС.

Для представления шестнадцатеричных чисел используются цифры (знаки): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F.

 

Десятичные числа	Двоичные числа	Восьмеричные числа	Шестнадцатеричные числа
			А
			В
			С
			D
			Е
			F

Перевод чисел из одной СС в другую.

Число в любой позиционной СС можно разложить в степенной ряд, тем самым переведя его в десятичную СС. Пример: 20D7,F₁₆ = 2•16³ + 0•16² + 13•16¹ + 7•16⁰ + 15•16^-1 =

8192 + 208 + 7 + 0,94 = 8407,94

Для перевода целого числа из одной позиционной системы счисления в другую, число нужно последовательно делить на основание той системы счисления, в которую переводится число. Деление выполняется до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше делителя (основания СС).

Цифрами числа в «новой» СС будут остатки от деления, начиная с последнего.

Пример: переведем число из десятичной в двоичную СС. 38₁₀ СС₂

38|_2

38 19|_2

0 18 9|_2

1 8 4 |_2

1 4 2|_2

0 2 1 <^– старший разряд, отсюда:

0 38₁₀ = 100110 ₂

выполним проверку, разлагая число в ряд по степеням основания СС, т.е. по степеням числа 2: 100110 ₂ = 1•2⁵ + 0•2⁴ + 0•2³ + 1•2² + 1•2¹ + 0•2⁰ = 32 + 4 + 2 = 38₁₀;

Преобразуем число 67₁₀ вшестнадцатеричную систему счисления:

67|_16

64 4 отсюда 67₁₀ = 43 ₁₆;

проверка: 43 ₁₆= 4•16¹ + 3•16⁰ = 64+ 3 = 67₁₀.

Для перевода правильной дроби (<1) в другую СС нужно дробь последовательно умножать на основание системы, в которую она переводится. Дробь в новой СС записывается в виде целых частей получаемых произведений, начиная сверху. Пример: 0,125₁₀ СС₂

0, | 125

^x | __2 0,125₁₀ 0, 001 ₂

0, | 250

^x | __ 2

0, | 500

^x | __ 2

1, | 000

При переводе дроби обычно возникает проблеме прекращения бесконечного процесса перевода (правая часть всегда не нулевая). Перевод прекращают получив некоторое (требуемое) количество цифр после запятой.

При переводе смешанных чисел целая и дробная части переводятся отдельно.

Для записи чисел восьмеричная и шестнадцатеричная СС требуют, соответственно, в 3 и 4 раза меньше цифр (разрядов), чем двоичная СС. Рассмотрим три двоичных разряда (числа из трех цифр): 000₂ – 0₈, 001₂ – 1₈, 010₂ – 2₈, 011₂ – 3₈, 100₂ – 4₈, 101₂ – 5₈, 110₂ – 6₈, 111₂ – 7₈, т.е. один разряд восьмеричной СС (одну восьмеричную цифру) можно представить с помощью трех разрядов двоичной СС (трех двоичных цифр). Следовательно, перевод из восьмеричной СС в двоичную состоит просто в замене каждой восьмеричной цифры соответствующей триадой двоичных цифр. Пример: 371₈ 011 111 001₂. Перевод из двоичной СС в восьмеричную состоит в замене каждой триады эквивалентной цифрой восьмеричной СС. Пример: 10 011 101₂ 235₈.

Аналогично осуществляется перевод чисел из двоичной СС в шестнадцатеричную и обратно с той лишь разницей, что замена производится не тремя, а четырьмя цифрами двоичной СС, 0000₂ – 0₈, 0001₂ – 1₁₆, 0010₂ – 2₁₆, 0011₂ – 3₁₆, 0100₂ – 4₁₆, 0101₂ – 5₁₆, 0110₂ – 6₁₆, 0111₂ – 7₁₆, 1000₂ – 8₁₆, 1001₂ – 9₁₆, 1010₂ – A₁₆, 1011₂ – B₁₆, 1100₂ – C₁₆ , 1101₂ – D₁₆, 1111₂ – F₁₆.

Пример: 31F,1A₁₆ 0011 0001 1111, 0001 1010₂.

Арифметика в двоичной СС легко реализуется в ЭВМ: 0+0=0; 0+1=1; 1+1=10 (здесь единица переносится в старший разряд); 0*0=0; 0*1=0; 1*1=1.

Задания.

I. Преобразовать следующие числа из десятичной СС в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную СС.

 

Варианты:

1. 68₁₀; 144₁₀; 0,452₁₀; 4,835₁₀; 0,1₁₀.

2. 48₁₀; 165₁₀; 0,523₁₀; 2,635₁₀; 0,1₁₀.

3. 17₁₀; 148₁₀; 0,391₁₀; 7,352₁₀; 0,1₁₀.

4. 36₁₀; 111₁₀; 0,611₁₀; 9,752₁₀; 0,1₁₀.

5. 74₁₀; 129₁₀; 0,155₁₀; 3,254₁₀; 0,1_10.

6. 93₁₀; 111₁₀; 0,611₁₀; 9,752₁₀; 0,1₁₀.

7. 38₁₀; 143₁₀; 0,135₁₀; 8,348₁₀; 0,1₁₀.

8. 86₁₀; 164₁₀; 0,325₁₀; 7,112₁₀; 0,1₁₀.

9. 73₁₀; 124₁₀; 0,815₁₀; 8,175₁₀; 0,1₁₀.

10. 58₁₀; 181₁₀; 0,721₁₀; 4,221₁₀; 0,1₁₀.

11. 83₁₀; 163₁₀; 0,315₁₀; 6,758₁₀; 0,1₁₀.

12. 39₁₀; 154₁₀; 0,257₁₀; 1,732₁₀; 0,1₁₀.

13. 75₁₀; 183₁₀; 0,611₁₀; 7,358₁₀; 0,1₁₀.

14. 39₁₀; 174₁₀; 0,315₁₀; 5,617₁₀; 0,1₁₀.

15. 81₁₀; 139₁₀; 0,617₁₀; 5,217₁₀; 0,1₁₀.

16. 58₁₀; 127₁₀; 0,174₁₀; 7,621₁₀; 0,1₁₀.

 

II. Преобразовать одно число в восьмеричную, а другое в десятичную СС.

 

Варианты:

1. 8С₁₆, СF₁₆. 2. СF₁₆, AD₁₆. 3. В3Е₁₆, А15₁₆. 4. А1Е₁₆, 15Е₁₆. 5. 9А1₁₆, Е8₁₆. 6. А1Е₁₆, 15Е₁₆. 7. 1ЕС₁₆, FЕ₁₆. 8. 3А1₁₆, ЕD₁₆. 9. А3₁₆, 4Е1₁₆. 10. АВЕ₁₆, Е9₁₆. 11. АВ3₁₆, 2D₁₆. 12. ВА6₁₆ , АЕ₁₆. 13. 9ЕА₁₆, 4В7₁₆. 14. 9FА₁₆, ЕА1₁₆. 15. DF₁₆, 491₁₆. 16. DF₁₆, 491₁₆.

III. Оценить количество двоичных цифр, необходимых для записи в двоичной СС десятичных чисел из 4-х цифр, из 7 цифр.

IV.Объяснить, почему вещественные (нецелые) числа записываются в компьютере с погрешностью.

V. Оценить эффективность следующих алгоритмов преобразования чисел из 10 - чной СС в 2 - чную: а) сразу ХХХ₁₀ YYYYYYYY₂; б) используя 16 - чную СС в качестве промежуточной ХХХ₁₀ ZZ₁₆ YYYYYYYY₂.

 

VI. Выполнить арифметические операции (сложение и умножение) над парами двоичных чисел: 10011 и 111; 110111 и 111001; 11,011 и 101,101.

Контрольные вопросы.

1. Что такое система счисления, ее основание?

2. Чем обусловлено использование в ЭВМ двоичной системы счисления?

3. В чем причина погрешности, появляющейся при переводе дробного числа из десятичной в двоичную систему счисления?