Операционное исчисление.
Преобразования Лапласа и его свойства
Определение: преобразованием Лапласа называется преобразование 
, где t – действительное переменное, а 
– комплексное переменное.
Функция 
называется оригиналом, а 
– изображением.
Приведем примеры вычисления изображений для некоторых оригиналов
1. 
, то 
;
2. 
, то 
(интегрируя по частям);
3. 
– целое положительное число, то 
(интегрируя 
раз по частям).
4. 
, то 
.
В дальнейшем будем считать, что оригинал удовлетворяет следующим условиям:
1. является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой функцией (т.е. и ее производная на каждом конечном отрезке имеют не более конечного числа точек разрыва и притом только первого рода);
2. 
при 
;
3. с возрастанием 
модуль функции растет не быстрее некоторой показательной функции; точнее 
, где 
и 
– постоянные.
Условие (3) обеспечивает абсолютную сходимость интеграла 
, где 
при 
т.е. для всех точек 
, лежащих правее прямой 
. Действительно, если 
, то 
. В дальнейшем будем всюду предполагать, что 
.
Докажем несколько свойств преобразования Лапласа.
1. 
.
Доказательство: 
.
2. 
.
Доказательство: 
+ 
.
Следствие из свойств (1) и (2) 
.
3. 
. В частности, если 
, то
дифференцирование оригинала сводится к умножению изображения на 
.
Доказательство: 
; равенство получается интегрированием по частям при этом 
. Применяя свойство (3) два раза получим 
. Применяя свойство (3) 
раз получим 
.
4. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на 
. 
.
5. Теорема запаздывания.
Сдвигу функции 
в направлении оси 
на отрезок 
соответствует умножение изображения на 
: 
.
Доказательство: 
выполним подстановку 
т.к. 
при 
, то 
.
6. Теорема подобия
.
Доказательство: 
.
7. Теорема смещения 
(
).
Доказательство: 
.
Составим таблицу перехода от оригинала к изображению и обратно
| 
|
| |
 
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Следующие свойства.
8. Дифференцирование изображения.
Дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (–t). 
.
9. Интегрирование изображения.
Если 
сходится, то он служит изображением функции 
.
Доказательство: Если функция 
такова, что 
при 
, то 
т.е. функция имеет изображение. Тогда 
. Т.е. 
.
10. Теорема умножения. Теорема о свертке.
Сверткой двух функций действительного переменного 
и 
называется третья функция 
. Совершая в интеграле замену переменной 
, получим
. Таким образом, от перестановки функций их свертка не меняется.
Теорема: изображением свертки двух оригиналов служит произведение их изображений.
.
11. Изображение периодической функции.
Пусть функция 
периодическая функция с периодом 
(при 
). Введем вспомогательную функцию 
. Но функция 
, причем 
– та же периодическая функция, но с запаздыванием на один период и 
. Тогда 
Решение дифференциальных уравнений операционным методом.
Пусть дано дифференциальное уравнение 
– прядка 
с начальными условиями 
.
Тогда 
. Раскладывая полученную дробь в сумму простейших и выполняя обратный переход по таблице, получаем решение дифференциального уравнения.
Если не все начальные условия 
равны 0, то выполним преобразования с основной формулой преобразования Лапласа.
Пример 1. Найти изображение периодической функции
, где 
– период функции.
Решение. Изображение функции 
найдем по формуле изображения периодической функции 
Пример 2. Найти оригинал функции 
по известному изображению 
.
Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе дроби и воспользуемся таблицей перехода 
.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение, удовлетворяющее данным начальным условиям.
.
Решение. Пусть функция 
имеет изображение 
. Тогда 
, 
, 
. Проведем преобразование дифференциального уравнения и получим 
. Разложим дробь 
в сумму простейших 
. Выполнив необходимые преобразования получим 
. Следовательно 
выполнив переход от изображений к оригиналам найдем решение дифференциального уравнения 
.