Операционное исчисление.
Преобразования Лапласа и его свойства
Определение: преобразованием Лапласа называется преобразование , где t – действительное переменное, а
– комплексное переменное.
Функция называется оригиналом, а
– изображением.
Приведем примеры вычисления изображений для некоторых оригиналов
1. , то
;
2. , то
(интегрируя по частям);
3. – целое положительное число, то
(интегрируя
раз по частям).
4. , то
.
В дальнейшем будем считать, что оригинал удовлетворяет следующим условиям:
1. является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой функцией (т.е.
и ее производная на каждом конечном отрезке имеют не более конечного числа точек разрыва и притом только первого рода);
2. при
;
3. с возрастанием модуль функции
растет не быстрее некоторой показательной функции; точнее
, где
и
– постоянные.
Условие (3) обеспечивает абсолютную сходимость интеграла , где
при
т.е. для всех точек
, лежащих правее прямой
. Действительно, если
, то
. В дальнейшем будем всюду предполагать, что
.
Докажем несколько свойств преобразования Лапласа.
1. .
Доказательство:
.
2. .
Доказательство:
+
.
Следствие из свойств (1) и (2) .
3. . В частности, если
, то
дифференцирование оригинала сводится к умножению изображения на .
Доказательство:
; равенство получается интегрированием по частям при этом
. Применяя свойство (3) два раза получим
. Применяя свойство (3)
раз получим
.
4. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на .
.
5. Теорема запаздывания.
Сдвигу функции в направлении оси
на отрезок
соответствует умножение изображения на
:
.
Доказательство: выполним подстановку
т.к.
при
, то
.
6. Теорема подобия
.
|
Доказательство: .
7. Теорема смещения (
).
Доказательство: .
Составим таблицу перехода от оригинала к изображению и обратно
![]() | ![]() |
![]() | |
![]() ![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Следующие свойства.
8. Дифференцирование изображения.
Дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (–t). .
9. Интегрирование изображения.
Если сходится, то он служит изображением функции
.
Доказательство: Если функция такова, что
при
, то
т.е. функция
имеет изображение. Тогда
. Т.е.
.
10. Теорема умножения. Теорема о свертке.
Сверткой двух функций действительного переменного и
называется третья функция
. Совершая в интеграле замену переменной
, получим
. Таким образом, от перестановки функций их свертка не меняется.
Теорема: изображением свертки двух оригиналов служит произведение их изображений.
.
11. Изображение периодической функции.
Пусть функция периодическая функция с периодом
(при
). Введем вспомогательную функцию
. Но функция
, причем
– та же периодическая функция, но с запаздыванием на один период и
. Тогда
Решение дифференциальных уравнений операционным методом.
Пусть дано дифференциальное уравнение – прядка
с начальными условиями
.
Тогда
. Раскладывая полученную дробь в сумму простейших и выполняя обратный переход по таблице, получаем решение дифференциального уравнения.
Если не все начальные условия равны 0, то выполним преобразования с основной формулой преобразования Лапласа.
Пример 1. Найти изображение периодической функции
, где
– период функции.
Решение. Изображение функции найдем по формуле изображения периодической функции
|
Пример 2. Найти оригинал функции по известному изображению
.
Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе дроби и воспользуемся таблицей перехода .
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение, удовлетворяющее данным начальным условиям.
.
Решение. Пусть функция имеет изображение
. Тогда
,
,
. Проведем преобразование дифференциального уравнения и получим
. Разложим дробь
в сумму простейших
. Выполнив необходимые преобразования получим
. Следовательно
выполнив переход от изображений к оригиналам найдем решение дифференциального уравнения
.