Лекция № 2 Понятие комплексного числа
Комплексным числом 
называется число вида 
, где 
и 
– действительные числа, 
– так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью (
) комплексного числа , число называется мнимой частью (
) комплексного числа .
– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: 
или переставить мнимую единицу: 
– от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:
Чтобы всё было понятнее, сразу приведем геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Если множество действительных чисел принято обозначать буквой 
, то множество комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой 
. Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось; – мнимая ось
Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать размерность, отмечаем: ноль; единицу по действительной оси; мнимую единицу по мнимой оси.
Рассмотрим чисел десять.
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел .
Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.
Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .
В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.
Лекция № 3 Сложение и вычитание комплексных чисел
С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа.
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.
Сложение комплексных чисел
Пример 1
Сложить два комплексных числа 
, 
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части: 
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: 
-
от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Примеры:
1). (1 + i) + (2 - 3 i) = 1 + i + 2 -3 i = 3 - 2 i;
2). (1 + 2 i) - (2 - 5 i) = 1 + 2 i - 2 + 5 i = -1 + 7 i.
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Найти разности комплексных чисел 
и 
, если 
, 
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: 
. Для наглядности ответ можно переписать так: 
.
Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная: 
Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: 
. Вот здесь без скобок уже не обойтись.
Умножение комплексных чисел
Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством: 
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел 
, 
Очевидно, что произведение следует записать так:
Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.
Повторим правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Распишем подробно: 
Надеюсь, всем было понятно, что 
Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: 
.