Сопротивление цепи для переменного тока

ОСНОВЫЭЛЕКТРОИЗМЕРЕНИЙ

МЕТОДЫИЗМЕРЕНИЙ

 

Лабораторные работы № 3, 4

 

 

 

М и н с к 2 0 16

Лабораторная работа №3.

Изучение мостового метода измерения сопротивления, емкости и индуктивности.

Цель работы.

1. Изучить теорию мостового метода измерения электрических величин.

2. Овладеть методикой измерения сопротивления, емкости и индуктивности с помощью универсального моста. Измерить сопротивления, емкости и индуктивности.

 

Методы измерений R,L,C

Существуют три основных метода измерения сопротивления R, емкости С и индуктивности L: метод амперметра и вольтметра, резонансный метод и метод мостов. Метод амперметра и вольтметра основан на законе Ома для электрических цепей и заключается в измерении падения напряжений на неизвестном сопротивлении для заданного тока или на измерении тока через неизвестное сопротивление для заданного напряжения. Точность этого метода определяется точностью амперметра или вольтметра и обычно не очень велика. Резонансные методы измерения основываются на использовании резонансных свойств колебательного контура.

Одним из наиболее распространенных методов измерения R,L,C является мостовой метод. Суть метода сводится к прямому или косвенному сравнению измеряемой величины с образцовой. Мостовые схемы используются также для измерения электрическим методом неэлектрических величин, например, температуры. Эти схемы находят широкое применение в различных устройствах автоматики и телемеханики.

 

Мост постоянного тока

 

Классический одинарный мост постоянного тока (мост Уитстона) состоит из сопротивлений R_1, R_2, R_3, R₄,, соединенных между собой, как показано на рис.1. Сопротивления, составляющие схему моста, называются плечами моста. Одно из этих плеч является неизвестным измеряемым сопротивлением. Оставшиеся три должны быть известными, причем, по крайней мере одно из них должно быть регулируемым. В одну из диагоналей моста (между точками а, b) включен источник питания, во вторую (между точками с, d) - измеритель тока И, являющийся чувствительным гальванометром с нулем посредине (нуль-индикатор).

Для расчета разветвленных электрических цепей постоянного тока широко используются два правила Кирхгофа (см., например, И.В.Савельев. Курс общей физики. Т.2). Первое правило Кирхгофа относится к узлам электрической цепи, т. е. к точкам, в которых сходятся более двух проводников (например, точки а, b, с, d на рис.1).

1-е правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

Σ I_k = 0 (1)

 

Токи, текущие к узлу, считаются имеющими один знак (обычно плюс), а токи, текущие от узла, имеют противоположный знак (обычно минус). Это правило можно сформулировать и так: арифметическая сумма токов, входящих в узел, равна арифметической сумме токов, выходящих из узла. Число уравнений, составляемых в соответствии с первым правилом Кирхгофа,равно числу узлов минус единица, так как уравнение, составленное для последнего узла, будет линейно зависимым от предыдущих.

2-е правило Кирхгофа относится к любому замкнутому контуру, выделенному в разветвленной цепи (например, замкнутые контуры acda, acbda, cbd). Оно гласит, что для замкнутого контура алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

Σ I_k R_k = Σ E _k (2)

 

 

Рис.1.

 

Направление токов на участках контура выбираются произвольно. Далее выбирается определенное направление обхода замкнутых контуров (по часовой стрелке или против нее). Токам и ЭДС в ветвях контура приписываются знаки плюс, если их направление совпадает с выбранным направлением обхода контура и минус, если их направление противоположно направлению обхода. За направление ЭДС принимается направление от минуса к плюсу внутри источника (т.е. направление повышения потенциала внутри источника или направление движения положительных зарядов внутри источника под действием сторонних сил).

Уравнение (2) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить мысленно в данной разветвленной цепи. Однако независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга. Иначе говоря, в каждый новый контур должна входить хотя бы одна новая ветвь, не входившая ни в один из ранее использованных контуров. Таким образом составляется система алгебраических уравнений, число которых равно числу независимых контуров минус единица. Данная система решается совместно с уравнениями для узлов.

Применим правила Кирхгофа к нашему мосту. При выбранных на рис 1 направлениях токов в узел c входит ток I₁, а из него выходят токи I₂ и I₅, поэтому по первому правилу Кирхгофа, в соответствии с (1), для узла а имеем:

I₁ - I₂ - I₅ = 0 (3)

В узел d входят токи I₄ и I₅, а из него выходит ток I₃, и по первому правилу Кирхгофа, в соответствии с (1), для узла d имеем:

I₄ + I₅ - I₃ = 0 (4)

При обходе контура acda по часовой стрелке направления токов I₁ и I₅ совпадают с направлением обхода, а направление тока I₄ противоположно направлению обхода, поэтому по второму правилу Кирхгофа, в соответствии с (2), для данного контура имеем:

I_l R_l + I₅R_g - I₄ R₄= 0, (5)

 

где R_g - сопротивление гальванометра. Правая часть (5) равна нулю, так как контур не содержит э.д.с.

Аналогично при обходе контура cbdc по часовой стрелке направление тока I₂ совпадает с направлением обхода, а направления токов I₃ и I₅ противополож-ны ему. Поэтому по второму правилу Кирхгофа, в соответствии с (2), для контура cbdc имеем:

I₂ R₂ - I₃ R₃ - I₅ R_g = 0 (6)

Предположим, что регулируемым является сопротивление R₄. Всегда можно изменять регулируемое сопротивление таким образом, чтобы ток I₅ уменьшался. Будет при этом данное сопротивление увеличиваться или уменьшаться, зависит от соотношения сопротивлений моста.

Будем изменять R₄ таким образом, чтобы ток I₅ уменьшался и стал равным нулю. Тогда разность потенциалов между точками с и d тоже будет равна нулю или потенциалы точек с и d равны (φ _c = φ _d). В этом случае говорят, что мост сбалансирован или уравновешен.

При условии I₅ =0 уравнения (3)-(6) принимают вид:

I₁ = I₂ (7)

I₃ = I₄ (8)

I_l R_l = I₄ R₄ (9)

I₂ R₂ = I₃ R₃ (10)

Предположим, что неизвестным является R_l, т.е. R_{l =} R_х. Тогда разделив почленно равенство (9) на (10) и учитывая (7,8), получим:

R_x R₃ = R₂ R₄ (11),

откуда имеем:

R_x = R₂ R₄/ R₃ (11а).

Уравнение (11) представляет собой условие равновесия или баланса моста, выраженное через сопротивления его плеч. Следовательно, для того чтобы мост был сбалансирован, произведения сопротивлений противоположных плеч моста должны быть равны между собой. Если сопротивления трех плеч известны (одно из них регулируемое), то из уравнения (11а) можно определить неизвестное сопротивление четвертого плеча R_x. Из (11) следует, что условие баланса является единственным, т.е. при заданных R_x, R₂ и R₃существует единственное значение величины сопротивления R₄, при котором мост будет сбалансирован.

Пока величина R_x изменяется в пределах одного десятичного порядка (декады), сопротивления R₂ и R₃ остаются постоянными. Постоянным при этом остается и отношение R₂/R₃. При переходе к соседней декаде одно из этих сопротивлений или оба они изменяются таким образом, чтобы отношение R₂/R₃ возросло или уменьшилось в 10 раз. Так, при переходе от декады (1,00 – 10,00)*10³ Ом к декаде (1,00 – 10,00)*10⁴ Ом отношение R₂/R₃ возрастет в 10 раз. Регулируемое сопротивление обычно остается одним и тем же.

Следует отметить, что определенное таким методом неизвестное сопротивление R_x включает в себя не только подлежащее измерению сопротивление R_x, но и сопротивление подводящих проводов и всех контактов между точками а и с, т.е. является полным сопротивлением плеча ас. Поэтому четырехплечный (одинарный) мост применяется для измерения только относительно больших сопротивлений (не ниже 1-10 Ом). В этом случае величина измеряемого сопротивления значительно больше сопротивления соединительных проводов и контактов. Для измерения малых сопротивлений используется так называемый двойной мост.

Рассмотренный тип моста (постоянного тока) пригоден для измерения активных сопротивлений. При включении индуктивности мост постоянного тока измерит сопротивление проволоки, из которой она изготовлена, а не индуктивность. Конденсатор вообще практически разрывает цепь, так как его сопротивление, равное сопротивлению изолятора, чрезвычайно велико. Однако переменный ток проходит через конденсатор и катушку. Поэтому мостовой метод может быть применен также и для определения С и L, только в этом случае питание моста должно осуществляться от источника переменного напряжения. Такие мосты носят название мостов переменного тока. Обычно используется ток, величина которого изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Изменение абсолютной величины тока связано с изменением модуля средней скорости направленного движения (дрейфа) носителей заряда. Изменение знака тока связано с изменением направления вектора скорости упорядоченного движения (дрейфа) носителей тока на противоположное.

Прежде чем вывести условия равновесия моста переменного тока, рассмотрим, чему равно сопротивление цепи для переменного тока'.

 

 

Сопротивление цепи для переменного тока

 

Пусть по последовательно соединенным активному сопротивлению R, емкости C и индуктивности L (рис. 2) протекает одинаковый переменный ток, изменяющийся по закону:

I = I_m cos ωt (12)

где I_m –амплитуда переменного тока, ω – циклическая частота. Из курса средней школы известно, что фаза напряжения, падающего на активном сопротивлении, совпадает с фазой тока:

U_R = U_Rm cos ωt (13)

где U_Rm - амплитуда напряжения на сопротивлении (I_m= U_Rm /R).

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на p/2:

U_c = U_cm cos (ωt – p/2), (13)

где U_cm - амплитуда напряжения на конденсаторе, I_m = U_cm ω С = U_cm / Хс. Величину

, (14)

имеющую размерность сопротивления, называют емкостным сопротивлением. Как видно, Хс обратно пропорционально циклической частоте переменного тока ω и емкости С конденсатора.

Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на p/2:

U_L = U_Lm cos (ωt + p/2), (15)

где U_Lm - амплитуда тока напряжения на индуктивности, I_m = U_Lm /ω L = U_L / Х_L.. Величина

Х_L= ω L (16)

называется индуктивным сопротивлением. Это сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока ω и индуктивности L катушки.

Сдвиг по фазе между током и напряжением означает, что некоторую часть периода скорость упорядоченного движения носителей положительных зарядов направлена по направлению электрического поля, а в оставшуюся часть – против него. В случае, если мы имеем только емкость или только индуктивность, обе эти доли равны половине периода. Емкостное и индуктивное сопротивления называются реактивными, так как на них энергия электромагнитного поля не превращается в другие виды энергии. Половину периода в реактивных сопротивлениях происходит накопление энергии в виде энергии электрического поля емкости или магнитного поля индуктивности, а в последующую половину эта энергия возвращается источнику. В активных сопротивлениях энергия электромагнитного поля необратимым образом превращается в другие виды энергии (например, выделяется теплота или выполняется механическая работа).

Рассчитаем полное сопротивление цепи, представленной на рис. 2, для переменного тока.

~

Рис. 2

 

Величины U_Rm, U_Lm, U_cm представляют собой амплитуды напряжений на активном сопротивлении, индуктивности и емкости, изменяющихся по гармоническому закону. Как механическое, так и электрическое гармоническое колебание можно представить с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с некоторой фиксированной осью угол, равный начальной фазе данного колебания. Изобразим падения напряжения на элементах цепи на векторной диаграмме. Выберем некоторую произвольную ось I в качестве оси токов (рис. 3). Тогда напряжение на активном сопротивлении изобразится на этой диаграмме в виде вектора U_R, совпадающего по направлению с осью I. Модуль вектора равен U_Rm. Напряжение на индуктивности представимо в виде вектора U_L, направленного под углом 90⁰ против часовой стрелки относительно оси I, а напряжение на емкости – в виде вектора Uc, направленного под углом 90⁰ по часовой стрелке относительно оси I. Модули этих векторов равны соответственно U_Lm и U_cm.

Рис.3.

 

Из прямоугольного треугольника для модулей рассмотренных векторов имеем. ׀

Модуль вектора внешнего напряжения можно представить в виде:

U_m = I_m R_n

где R_n - полное сопротивление цепи или модуль импеданса. Тогда предыдущее равенство представимо в виде:

Следовательно,

(17)

Полное сопротивление можно представить в таком виде:

, (18)

где R – активное сопротивление, X = X _L –X_C – реактивное сопротивление (реактанс).

Угол сдвига фаз между током и напряжением φ дается соотношением:

(19)

При расчете сложных цепей переменного тока удобно пользоваться так называемым символическим методом, который значительно упрощает расчеты.

Сущность символического метода заключается в том, что величины, которые характеризуют электрические цепи (ЭДС, токи, сопротивления и т.д.), представляются в виде комплексных чисел вида Z = x+iy, где i=

Комплексное число можно представить в виде вектора в системе координат, в которой действительную часть х комплексного числа откладывают по горизонтальной оси, а мнимую часть y - по вертикальной (рис.4).

 

Рис.4.

Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z. Модуль комплексного числа дает амплитуду гармонического колебания, а аргумент - начальную фазу колебания.

Рассмотрим, чему равны комплексные сопротивления в различных частных случаях; Если участок цепи имеет только активное сопротивление R, то полное комплексное сопротивление (импеданс) z_r в этом случае не имеет вовсе мнимой части и равно активному сопротивлению участка z _r = r.

Если участок цепи содержит только индуктивность L, то . В данном случае сопротивление чисто мнимое и аргумент комплексного сопротивления равен p/2. Если участок цепи содержит только конденсатор, то . Сопротивление конденсатора также является чисто мнимым и аргумент его равен ―p/2. Существует следующее простое п р а в и л о для вычисления сопротивления цепей символическим методом: чтобы рассчитать сопротивление цепи для переменного тока, надо в этой цепи заменить каждую индуктивность L на ее комплексное сопротивление , каждую емкость С на комплексное сопротивление , а все активные сопротивления оставить без изменения. Затем с полученными комплексным сопротивлениями надо произвести те же операции, что и при вычислении сопротивления цепи для постоянного тока.

Для комплексных чисел справедлива формула Эйлера:

Тогда комплексное сопротивление (импеданс) можно представить в виде

(20)

где R_n – модуль импеданса или полное сопротивление, определяемый по формулам (17), (18), а величина угла сдвига фаз φ - по формуле (19). Формулу (20) можно переписать так:

Z = R + i(X_L-X_C) = R + iX

Мост переменного тока

 

Для переменного тока наибольшее распространение получил, как и для постоянного тока, простой четырехплечный мост (рис. 5).

Для того, чтобы получить условие равновесия моста переменного тока, следует повторить вывод, произведенный для моста постоянного тока, но в этом выводе активные сопротивления R_1, R₂ , R₃ , R₄, следует заменить комплексными сопротивлениями соответствующих плеч Z₁, Z₂, Z₃, Z₄.

 

 

Рис.5.

 

Аналогично (11), условие равновесия плеч моста переменного тока (т.е. условие, при котором ток через гальванометр равен нулю) имеет вид:

 

Z₁ Z₃ = Z₂ Z₄ (21)

Если в этом выражении значения комплексных сопротивлений записать согласно (17) в показательной форме, то мы получим:

 

 

Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы

 

(22)

(23)

Следовательно, для равновесия моста переменного тока необходимо выполнение двух условий: (22) и (23). Это означает, что переменные потенциалы в точках с и d (рис. 5) должны иметь не только одинаковую амплитуду (условие 22), но также и одинаковые фазы (условие 23). Только в этом случае напряжение между точками с и d будет равно нулю в любой момент времени. При этом для уравновешивания моста приходится изменять параметры двух элементов моста, т.е. пользоваться двумя ручками управления. Поэтому равновесие моста переменного тока достигается более сложным путем по сравнению с мостом постоянного тока.

Контрольные вопросы

1. Основные методы измерения сопротивления, емкости и индуктивности.

2. Сущность мостового метода измерений.

3. Правила Кирхгофа.

4..Условие равновесия моста переменного тока.

5. Емкостное и индуктивное сопротивления.

6. Векторная диаграмма напряжений.

7. Символический метод расчета цепей переменного тока

8. Условие равновесия моста переменного тока

9. Мост для измерения емкости.

10. Мост для измерения индуктивности.