Производная обратной функции

Тема 1: Поведение функций на бесконечности. Асимптоты

Асимптота – это прямая, к которой график неограниченно приближается. Напомним, что асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Например, у гиперболы вертикальной асимптотой является ось Ox, а вертикальной – Oy.

Пусть дана функция y = f(x), в области определения которой содержится луч от (a; + ∞) и пусть прямая y = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x). Тогда можно записать, что предел функции f(x) при x стремящемся к плюс бесконечности равен b.

Если же дана функция y = f(x), в области определения которой содержится луч (- ∞; a), и прямая y = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), то можно записать, что предел функции f(x) при x стремящемся к минус бесконечности равен b.

Если одновременно выполняются оба соотношения, то можно записать, что предел функции f(x) при x стремящемся к плюс минус бесконечности равен b. Чаще всего знак плюс минус в данном равенстве убирают и просто говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен b.

Пример1

Для вычисления предела функции на бесконечности используют несколько утверждений. Давайте сформулируем их.

Пример 2

Пример 3.

Пример 4

Тема 2: Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной

Определение: Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀ называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций f(x) и g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной.

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀:

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Тема 3: Производные основных элементарных функций

Тема 4: Производные суммы, разности, произведения и частного

Тема 5:Производные сложной и обратной функций

Производная сложной функции

Пусть и , тогда − сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема:

Если функции имеет производную в точке х, а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в точке х имеет производную , которая находится по формуле: или =

Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

Данное правило распространяется на сложные функции при любом (определенном) числе промежуточных аргументов.

Так, если , , , , то .

Производная обратной функции

Если и − взаимо-обратные дифференцируемые функции и , то или , т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.