Особенности нагрева полупроводников
Механизмы нагрева
Излучение, падающее на твердый образец конечной толщины, частично отражается от его поверхности, частично поглощается в нём и может проходить сквозь него. В соответствии с этим баланс включает соответствующие потоки энергии:
(1)
где WI - мощность падающего излучения,
WR - мощность отражённого излучения,
WA - мощность поглощенного излучения,
WT - мощность прошедшего излучений.
При известных коэффициентах отражения R и пропускания τ ∗ поглощённая часть:
, (2)
В случае интенсивного воздействия соотношение между компонентами изменяется со временем из-за нагрева образца и изменения его физико-химических свойств, поэтому смысл этого выражения (1) – мгновенный баланс энергии и записан он для мощностей падающего (WI), отражённого (WR), поглощенного (WA) и прошедшего излучений (WT).
При облучении электронами и фотонами поглощённое излучение термализуется по механизмам возбуждения и релаксации электронной подсистемы твердого тела. В случае ионной бомбардировки тепловой эффект возникает вследствие непосредственного возбуждения атомных колебаний в каскадах смещений и ионизации. Время релаксации возбужденного состояния электронной и атомной подсистем10-10 – 10-14 с и, следовательно можно считать его практически мгновенным.
Слой, в котором происходит поглощение, действует как мгновенный внутренний источник тепла. Параметры этого источника являются функцией спектр-энергетических характеристик, координаты, температуры, времени:
, (3)
Выделенная в слое поглощения энергия диффузионно перераспределяется в объеме образца. При этом в энергетический баланс включают энергию, отводимую термически испаренными и распыленными с поверхности образца атомами we, теряемую на тепловое излучение wt, конвекцию wc и потребляемую на химические реакции и фазовые переходы wr. Энергия, связанная с испарением и распылением атомов, имеет две составляющие: потенциальная (разрыв межатомных связей) и кинетическая (движение атомов с определённой скоростью от поверхности образца). Потенциальная составляющая определяется по известным удельным энергиям сублимации ES и пороговой энергии распыления Eth. Энергетические затраты на испарение определяются уравнением Герца – Кнудсена:
(4)
где aV – коэффициент испарения,
P – давление паров испаряемого вещества,
M – масса испаряемых атомов,
k – постоянная Больцмана,
T – температура.
При распылении:
(5)
где S – коэффициент распыления,
j – плотность ионного тока,
q – заряд электрона.
Кинетическая энергия испарения и распыления атомов низкоэнергетичными ионами ~ 0–3 эВ, ES и Eth составляют 10–20 эВ. Отвод энергии вторичными электронами пренебрежимо мал по сравнению с атомами.
Потери на тепловое излучение имеют место на поверхности образца и интегрально описываются законами Стефана-Больцмана:
(6)
где σ – постоянная Стефана-Больцмана,
εe – приведённая излучательная способность,
Ts – температура окружающих поверхностей, с которыми осуществляется радиационный обмен.
Конвекционные потери тепла пропорциональны разности температур поверхности образца T и окружающей среды Ta:
(7)
Внутренние химические реакции и фазовые переходы могут, как потреблять, так и выделять энергию. Определяющими здесь являются физико-химическая природа, энергоёмкость, температура и количества вещества:
(8)
где vr(T) – скорость реакции,
N – концентрация реагирующих компонентов,
Er – удельная энергия образования новой фазы.
Эффективность влияния различных механизмов потерь на перераспределение поглощённой энергии и, следовательно, на режим термообработки в значительной степени зависит от продолжительности воздействия излучения. В качестве критерия для классификации режимов термообработки используют величину диффузионного смещения температурного профиля в образце Δ x – за время воздействия t p:
(9)
где D * – теплопроводность материала.
Согласно этому критерию, можно выделить три наиболее важных случая:
– перераспределение тепла по глубине меньше толщине слоя поглощения энергии, – адиабатический нагрев Δx < xA;
– область перераспределения тепла больше толщины слоя поглощения, но не распространяется на всю толщину образца, Δ A x < x < d – режим теплового потока;
– тепловой фронт достигает необлучаемой стороны образца и выравнивает распределение температуры по толщине, Δ x < d – режим теплового баланса.
1) Адиабатический режим – очень короткие импульсы. Поглощенная
энергия быстро термализуется, температура в слое поглощения мгновенно возрастает и он плавится. Глубина расплавленной области зависит от плотности поглощённой энергии. Все потери энергии, кроме затрат на испарение, фазовые переходы и химических реакций пренебрежимо малы.
2) Режим теплового потока – температурный профиль по толщине образца контролируется диффузией тепла из слоя поглощения и характеризуется определённым градиентом. В балансе поглощённой энергии необходимо учитывать все потери, хотя радиационным и конвективным отводом тепла в ряде случаев можно пренебречь. Термообработка в этом режиме может проводиться как в твердой фазе, так и с расплавлением поверхностного слоя.
3) Режим теплового баланса – устанавливается равномерное (квазиравномерное на практике) распределение температуры по толщине образца. В балансе поглощённой энергии учитываются все потери, но доминируют радиационный теплоотвод. Различают две стадии: нестационарный и стационарный тепловой баланс. Стационарный тепловой баланс – это изотермический режим. Нестационарный – это начальная стадия, которая характеризуется тем, что суммарная мощность тепловых потерь меньше поглощённой мощности излучения. Как следствие накопления тепловой энергии температура образца непрерывно возрастает с увеличением длительности экспозиции. Увеличиваются и радиационные потери, которые пропорциональны Т4. В некоторый момент времени по достижении определённой температуры поглощаемая мощность полностью уравновешивается потерями и наступает стадия, характеризующаяся неизменной во времени температурой образца.
Рисунок 1 – Режимы нагрева полупроводников
Моделирование тепловых полей в полупроводниковых пластинах
Диффузионное перераспределение тепла из слоя поглощения энергии начинает проявляться в полупроводниковых материалах при нагреве импульсами излучения длительностью более 10-6 с. В нестационарных тепловых процессах перенос тепла описывается обобщённым уравнением Фурье, которое для одномерного случая имеет вид:
(10)
где с(Т) – удельная теплоёмкость,
ρ – объёмная плотность материала,
К(Т) –коэффициент теплопроводности.
Тепловые потери учитываются в граничных условиях:
, (11)
Решение данного уравнения с записанными граничными условиями возможно только численными методами, для упрощения которых обычно ис-
пользуют преобразование Кирхгофа. Наиболее распространенные – конечно-
разностные методы:
– метод Кранка-Никольсона (нелинейность исходного уравнения устраняется в процессе счета итерациями);
– метод численного преобразования Лапласа-Карсона;
– метод интегральных преобразований.
Аналитическое решение уравнения теплопроводности (10) возможно при незначительных упрощениях, предполагающих адиабатические граничные условия, и при пренебрежении температурными и спектральными зависимостями параметров полупроводникового материала. Одно из них для импульса длительностью tp имеет вид:
(12)
где χ = К/(ρс), ω = π/tp, 0 < ωt < π.
Аналитические решения, справедливые, как правило, в приповерхностной области полупроводниковой пластины для коротких длительностей воздействия (tp<10-4с), по точности не удовлетворяют требованиям описания многих практически важных случаев, поэтому наибольшее распространение получили численные решения уравнения теплопроводности.
Результаты численных расчётов для различных источников излучения (лазер, электронный луч, некогерентный свет) показывают, что существенное влияние на тепловое поле оказывают начальная температура образца и его толщина. При этом индуцированная температура тем выше, чем выше начальная температура и меньше начальная толщина пластины.
Однако определяющее влияние на величину температурного градиента по толщине пластины оказывают мощность энергии излучения в импульсе и его длительность. На рисунке 2 представлена относительная температура как функция координаты кремниевой пластины толщиной 380 мкм, подвергаемой излучением рубинового лазера (λ = 0,69мкм) и ксеноновой газоразрядной лампы.
Рисунок 2 - Профили относительного изменения температуры по глубине пластины кремния (380 мкм), нагреваемой импульсами излучения рубинового лазера (сплошные линии), ксеноновой лампы (штриховые) различной длительности с экспозиционной энергией 5 Дж/см2
Полученные результаты позволяют сделать вывод о наличии значительных температурных градиентов по толщине пластины при длительностях импульса 10-5 – 10-4 с. С увеличением длительности до 10-3 – 10-2 с они быстро уменьшаются и при экспозиции более 10-2 с температурное поле становится практически равномерным по толщине полупроводниковой пластины. При длительностях лучистого нагрева 10-2 с и более в полупроводниковых пластинах устанавливается квазиравномерное распределение температуры по толщине и её тепловой режим определяется балансом проводимой мощности, в котором доминирующую роль играют потери на тепловое излучение. С учётом других потерь энергии уравнение теплового баланса имеет вид:
(13)
где
(14)
Традиционно полагали, что параметры в этом уравнении не зависят от температуры и все потери, кроме радиационных, пренебрежимо малы. С этими допущениями получено аналитическое выражение для оценки максимальной температуры и времени достижения температуры T:
(15)
(16)
Более корректное описание изменения полупроводниковой пластины (в режиме теплового баланса) требует учёта температурных и спектральных зависимостей параметров полупроводникового материала. При этом аналитическое решение невозможно и проводится численное интегрирование уравнения теплового баланса.
Расчёты тепловых полей при секундной термообработке излучением индуцируют незначительные градиенты температуры по толщине пластины, оцениваемые соотношением:
(17)
где K – значение коэффициента теплопроводности при температуре обработки.
Проведённые расчёты для кремниевых пластин толщиной 300 – 500 мкм дают даже вблизи температуры плавления разницу температур облучаемой и необлучаемой поверхности в пределах 7 – 10 градусов. Это значительно меньше возникающих при такой термообработке радиальных перепадов температуры.
Радиальные градиенты могут быть рассчитаны в приближении тонкой пластины (d << a, a – радиус пластины) с использованием стационарного уравнения теплопроводности:
(18)
где Q = 2σε e 
– интегральная плоскость мощности, выделенная в объёме пластины, Те – установившееся значение температуры в центре пластины (r=0), r – радиальная координата. При этом предполагается однородность поверхностного облучения пластины и наличия лишь радиационного теплоотвода с её поверхностей.
С учётом дополнительной излучающей границы, которой является боковая поверхность пластины, граничные условия представляются в виде:
(19)
Решением уравнения теплопроводности с учётом этих граничных условий является:
(20)
где
(21)
I0 и I1 – функции Бесселя нулевого и первого порядка соответственно, которые для аргумента F >> 1 приближенно определяются как
(22)
Член со знаком минус в правой части решения учитывает наличие дополнительной излучающей границы.
Радиальный градиент температуры достигает максимального значения на краю пластины, а область его локализации в основном определяется её диаметром и распространяется на расстояние (0,2 – 0,3) a от края пластины.
Рассмотренное описание вертикальных и горизонтальных температурных градиентов в нагреваемых излучением полупроводниковых пластинах позволяет рассчитывать связанные с ними термоупругие напряжения.
ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ
Разработанная программа для моделирования кинетики изменения температуры пластины кремния написана на языке С++ в среде разработки Borland.
Для того чтобы произвести расчет максимальной температуры надо нажать кнопку «Расчет» и тогда появится график.
Потом нужно нажать кнопку «Очистить», для того чтобы график очистился от предыдущих расчётов. Если график не очистить, то следующий график выводится на панель с сохранением графиков предыдущих расчётов.
Ниже приведены примеры моделирования в соответствии с данными исходного задания.
Тестовый расчет для d= 500 мкм, W=20 Вт/см2
Тестовый расчет для d= 500 мкм, W= 40 Вт/см2
Тестовый расчет для d= 500 мкм, W= 60 Вт/см2
Тестовый расчет для d= 500 мкм, W= 20, 40, 60 Вт/см2
Таблица результатов
| T(r), K | ||||||||
| W, Вт/см2 | r =10 мм. | r =20 мм. | r =30 мм. | r =40 мм. | r =50 мм. | r =60 мм. | r =70 мм. | r =80 мм. |
| 1160,9 | 1160,9 | 1160,8 | 1160,8 | 1160,8 | ||||
| 1380,9 | 1380,9 | 1380,9 | 1380,9 | 1380,8 | 1380,8 | |||
| 1528,9 | 1528,9 | 1528,9 | 1528,9 | 1528,8 |
Текст программы:
object Form1: TForm1
Left = 312
Top = 265
Width = 576
Height = 302
Caption = 'Кинетика изменения температуры пластины кремния'
Color = clBtnFace
Font.Charset = DEFAULT_CHARSET
Font.Color = clWindowText
Font.Height = -11
Font.Name = 'MS Sans Serif'
Font.Style = []
OldCreateOrder = False
PixelsPerInch = 96
TextHeight = 13
object Label1: TLabel
Left = 424
Top = 208
Width = 32
Height = 13
Caption = 'Tmax='
end
object Label2: TLabel
Left = 464
Top = 208
Width = 3
Height = 13
end
object Label3: TLabel
Left = 424
Top = 232
Width = 58
Height = 13
Caption = 'd= 500 мкм'
end
object Chart1: TChart
Left = 16
Top = 8
Width = 400
Height = 250
BackWall.Brush.Color = clWhite
BackWall.Brush.Style = bsClear
Title.Text.Strings = (
'Кинетика изменения температуры пластины кремния')
Legend.Visible = False
View3D = False
TabOrder = 0
object Series1: TLineSeries
Marks.ArrowLength = 8
Marks.Visible = False
SeriesColor = clLime
LinePen.Width = 2
Pointer.InflateMargins = True
Pointer.Style = psRectangle
Pointer.Visible = False
XValues.DateTime = False
XValues.Name = 'X'
XValues.Multiplier = 1
XValues.Order = loAscending
YValues.DateTime = False
YValues.Name = 'Y'
YValues.Multiplier = 1
YValues.Order = loNone
end
object Series2: TLineSeries
Marks.ArrowLength = 8
Marks.Visible = False
SeriesColor = 16711808
LinePen.Width = 2
Pointer.InflateMargins = True
Pointer.Style = psRectangle
Pointer.Visible = False
XValues.DateTime = False
XValues.Name = 'X'
XValues.Multiplier = 1
XValues.Order = loAscending
YValues.DateTime = False
YValues.Name = 'Y'
YValues.Multiplier = 1
YValues.Order = loNone
end
object Series3: TLineSeries
Marks.ArrowLength = 8
Marks.Visible = False
SeriesColor = 16744448
LinePen.Width = 2
Pointer.InflateMargins = True
Pointer.Style = psRectangle
Pointer.Visible = False
XValues.DateTime = False
XValues.Name = 'X'
XValues.Multiplier = 1
XValues.Order = loAscending
YValues.DateTime = False
YValues.Name = 'Y'
YValues.Multiplier = 1
YValues.Order = loNone
end
end
object RadioGroup1: TRadioGroup
Left = 424
Top = 8
Width = 129
Height = 105
Caption = 'Падающее излучение'
ItemIndex = 0
Items.Strings = (
'20 Вт/см2'
'40 Вт/см2'
'60 Вт/см2')
TabOrder = 1
end
object Button1: TButton
Left = 424
Top = 120
Width = 129
Height = 25
Caption = 'Расчет'
TabOrder = 2
OnClick = Button1Click
end
object Button2: TButton
Left = 424
Top = 152
Width = 129
Height = 25
Caption = 'Очистить'
TabOrder = 3
OnClick = Button2Click
end
end
Заключение
В данной работе рассматривается кинетика изменения температуры пластины кремния, нагреваемой в режиме теплового баланса.Для этого мы изучили особенности нагрева полупроводников, рассмотрели механизмы их нагрева и особенности моделирования тепловых полей в полупроводниковых пластинах.Результаты численных расчётов для различных источников излучения показывают, что существенное влияние на тепловое поле оказывают начальная температура образца и его толщина. При этом индуцированная температура тем выше, чем выше начальная температура и меньше начальная толщина пластины. Однако, определяющее влияние на величину температурного градиента по толщине пластины оказывают мощность энергии излучения в импульсе и его длительность. Поэтому для расчёта параметров была разработана программа, которая моделирует процесс нагрева пластины с учётом эффектов, возникающих при разогреве полупроводников. Программа написана на языке С++ в среде разработки Borland.
Список литературы
1. Борисенко В. Е. Твердофазные процессы в полупроводниках при импульсном нагреве. – Мн., Наука и техника. 1991
2. Бубенников А. Н. Моделирование интегральных микротехнологий, приборов и схем. – М., Высшая школа. 1989
3. Моделирование.полупроводниковых приборов и технологических процессов. Последние достижения: Пер. с англ./Под ред. Д. Миллера. —М.: Радио и связь, 1989.— 280 с: ил.