Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример:
Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:
Получили 1110=10112.
Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8.
Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7. Для целого восьмеричного числа можно записать:
an −1 an −2... a 1 a 0= an −18 n −1+ an −2⋅8 n −2+...+ a 0⋅80.
Пример:
10638=1⋅83+0⋅82+6⋅81+3⋅80=56310.
Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения. Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример:
Переведём десятичное число 76 в восьмеричную систему счисления.
7610=1148
Основание: q=16.
Алфавит: 0,1,2,3,4,5,б,7,8,9,А,В,С, D,Е, F.
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,...,9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10,11,12,13,14,15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.
Таким образом, запись 3 AF 16 означает: 3 AF 16=3⋅162+10⋅161+15⋅160=94310.
Пример:
Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.
15410=9 A 16
Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанном q следует:
- последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
- полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
- составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.
Представим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от 0 до 1710.
В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:
- двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
- представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
- двоичная арифметика наиболее проста;
- существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.
Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.
Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:
Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1+1=10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.
Пример:
Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.