Проверка метода простой итерации в MathCad

Теоретическая часть

Метод простой итерации

Рассмотрим уравнение

f(x)=0

с отделенным корнем X [a, b]. Для решения уравнения методом простой итерации приведем его к равносильному виду:

x=φ(x)

Это всегда можно сделать, причем многими способами. Например: x=g(x) · f(x) + x ≡ φ(x), где g(x) - произвольная непрерывная функция, не имеющая корней на отрезке [a,b].

Пусть x⁽⁰⁾ - полученное каким-либо способом приближение к корню x (в простейшем случае x⁽⁰⁾=(a+b)/2). Метод простой итерации заключается в последовательном вычислении членов итерационной последовательности:

x(k+1)=φ(x(k)), k=0, 1, 2,...

начиная с приближения x⁽⁰⁾.

Утверждение: Если последовательность {x^(k)} метода простой итерации сходится и функция φ непрерывна, то предел последовательности является корнем уравнения x=φ(x)

Доказательство: Пусть

Перейдем к пределу в равенстве x^(k+1)=φ(x^(k)) Получим с одной сторонv по, что а с другой стороны в силу непрерывности функции φ.

В результате получаем x^*=φ(x^*). Следовательно, x^* - корень уравнения, т.е. X=x^*.

Чтобы пользоваться этим утверждением нужна сходимость последовательности {x^(k)}. Достаточное условие сходимости дает:

Теорема (о сходимости) Пусть уравнение x=φ(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:

1) φ(x) C¹[a,b];

2) φ(x) [a,b] x [a,b];

3) существует константа q > 0: | φ '(x) | ≤ q < 1 x [a,b]. Tогда итерационная последовательность {x^(k)}, заданная формулой x^(k+1) = φ(x^(k)), k=0, 1,... сходится при любом начальном приближении x⁽⁰⁾ [a,b].

Доказательство Рассмотрим два соседних члена последовательности {x^(k)}: x^(k) = φ(x^(k-1)) и x^(k+1) = φ(x^(k)) Tак как по условию 2) x^(k) и x^(k+1) лежат внутри отрезка [a,b], то используя теорему Лагранжа о средних значениях получаем:

x ^(k+1) - x ^(k) = φ(x ^(k)) - φ(x ^(k-1)) = φ '(c _k)(x ^(k) - x ^(k-1))

где c _k (x ^(k-1), x ^(k)).

Отсюда получаем:

| x (k+1) - x (k) | = | φ '(c k) | · | x (k) - x (k-1) | ≤ q | x (k) - x (k-1)| ≤ ≤ q (q | x (k-1) - x (k-2) |) = q 2 | x (k-1) - x (k-2) | ≤... ≤ q k | x (1) - x (0) |

Рассмотрим ряд

S∞ = x (0) + (x (1) - x (0)) +... + (x (k+1) - x (k)) +....

Если мы докажем, что этот ряд сходится, то значит сходится и последовательность его частичных сумм
S_k = x ⁽⁰⁾ + (x ⁽¹⁾ - x ⁽⁰⁾) +... + (x ^(k) - x ^(k-1)).

Но нетрудно вычислить, что

Sk = x (k)

Следовательно, мы тем самым докажем и сходимость итерационной последовательности {x^(k)}.

Для доказательства сходимости pяда сравним его почленно (без первого слагаемого x⁽⁰⁾) с рядом

q 0 | x (1) - x (0) | + q 1 |x (1) - x (0)| +... + |x (1) - x (0)| +...,

который сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (так как по условию q < 1). В силу неравенства абсолютные величины ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (то есть ряд мажорирует ряд). Следовательно ряд также сходится. Tем самым сходится последовательность {x⁽⁰⁾}

Получим формулу, дающую способ оценки погрешности |X - x ^(k+1)| метода простой итерации.

Имеем X - x^(k+1) = X - S_k+1 = S_∞ - S_k+1 = (x^(k+2) - ^(k+1)) + (x^(k+3) - x^(k+2)) +.... Следовательно |X - x^(k+1)| ≤ |x^(k+2) - ^(k+1) | + |x^(k+3) - x^(k+2) | +... ≤ q^k+1 |x⁽¹⁾ - x⁽⁰⁾ | + q^k+2 |x⁽¹⁾ - x⁽⁰⁾ | +... = q^k+1|x⁽¹⁾ - x⁽⁰⁾ | / (1-q)

В результате получаем формулу

|X - x(k+1)| ≤ qk+1|x(1) - x(0) | / (1-q)

Взяв за x⁽⁰⁾ значение x^(k), за x⁽¹⁾ - значение x^(k+1) (так как при выполнении условий теоремы такой выбор возможен) и учитывая, что при имеет место неравенство q^k+1 ≤ q выводим:

|X - x^(k+1)| ≤ q^k+1|x^(k+1) - x^(k) | / (1-q) ≤ q|x^(k+1) - x^(k) | / (1-q)

Итак, окончательно получаем:

|X - x(k+1)| ≤ q|x(k+1) - x(k) | / (1-q)

Используем эту формулу для вывода критерия окончания итерационной последовательности. Пусть уравнение x=φ(x) решается методом простой итерации, причем ответ должен быть найден с точностью ε, то есть |X - x^(k+1)| ≤ ε. С учетом получаем, что точность ε будет достигнута, если выполнено неравенство

|x(k+1)-x(k)| ≤ (1-q)/q

Tаким образом для нахождения корней уравнения x=φ(x) методом простой итерации с точностью нужно продолжать итерации до тех пор, пока модуль разности между последними соседними приближениями остается больше числа ε(1-q)/q.

Замечание: В качестве константы q обычно берут оценку сверху для величины

Пример: Составим последовательность для решения уравнения f(x)=x·e^x=0 по методу простой итерации.

Приведем уравнение к итерационному виду:

x = e ^{- x} ≡ φ(x).

Далее графически произведем отделение корня.

Несложный анализ графика показывает, что корень X [e^-1,1]. Tак как при x [e^-1,1] и e^-x [e^-1,1], x [e^-1,1], то в соответствии с теоремой итерационная последовательность x^(k+1) = e ^{- x(k)}, k=0, 1, 2,... гарантированно сходится к корню уравнения. В качестве начального приближения к корню можно взять x⁽⁰⁾=0.5(1+e^-1).

 

Блок схема

Рис.1

 

Проверка метода простой итерации в MathCad

Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным уравнением

x = j(x).

Пусть известно начальное приближение корня х = х₀. Подставляя это значение в правую часть уравнения, получим новое приближение:

х1 = j(х0).

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в, получаем последовательность значений:

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = j (х). Каждый действительный корень уравнения является абсциссой точки пересечения М кривой у = j (х) с прямой у = х (Рис.2, а).

Рис.2

Отправляясь от некоторой точки А₀ [x₀, j (x₀)], строим ломаную А₀В₁А₁В₂А₂… (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу, вершины А₀, А₁, А₂, …лежат на кривой у=j (х), а вершины В₁, В₂, В₃, …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А₁ и В₁, А₂ и В₂, …, очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х₁, х₂, … корня .

Возможен также другой вид ломаной А₀В₁А₁В₂А₂ … – “спираль” (Рис.2, б). Решение в виде “лестницы” получается, если производная j' (х) положительна, а решение в виде “спирали”, если j' (х) отрицательна.

На Рисунке 6, а, б кривая у = j (х) в окрестности корня - пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где >1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рис.3).

Рис.3

Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть функция j (х) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причем все ее значения j (х) [a, b].

Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

q < 1

при a < x < b, то: 1) процесс итерации

сходится независимо от начального значения х_{0 I} [a, b];

2) предельное значение является единственным корнем уравнения х = j (х) на отрезке [a, b].

Пример. Уравнение

f(x) = x3 – x – 1 = 0

имеет корень x [1, 2], так как f(1) = - 1 < 0 и f(2) = 5 > 0.

Уравнение можно записать в виде

х = х3 – 1.

Здесь

j (х) = х³ – 1 и j' (х) = 3х²;

поэтому

j' (х) 3 при 1 х 2

и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

Если записать уравнение в виде

то будем иметь:

.

Отсюда при 1 х 2 и значит, процесс итерации для уравнения быстро сойдется.

Найдем корень x уравнения с точностью до 10^-2. Вычисляем последовательные приближения х_n с одним запасным знаком по формуле

С точностью до 10^-2 можно положить x = 1,324.

 

Создание программы

Для начала мы создаем Form1 с использованием TextBox и Label. TextBox используется для ввода данных: начала промежутка, конца промежутка и погрешность. А также для решение уравнения. Label используется для обозначения различных данных.

 

Form1.

Также мы создаем меню. При помощи Menu Editor Мы создаем четыре основных пункта: Файл, Решение, График, Справка. Файл будет открывать два подпункта: Сохранить, который будет сохранить изменения программы на диске, и Выход, который будет выходить из Form1. Решение будет выводит на последний TextBox решение уравнение по заданным данным. График будет переводить на Form2. Справка будет выводит подпункт О программе…,в которой будет говорится о созданной программе.