Наращенные суммы для финансовых рент

Обычная годовая рента

Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, сложные проценты начисляются один раз в году по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет ло величины R(1 + 'i) 'i так как на сумму R проценты начислялись в течение (п 1) гола. Второй взнос увеличится ло R(1 + i) 'l 2 и т.д.

l la ПОС.Л(УИШЙ ВЗНОС проценты пе ПТшС.ЛЯЮТСЯ. Таким образом, в КОПЦС срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии:

S = R + + Й) + Щ 1 + 0 ²+ + Щ 1 + j) 'i в которой первый член равен R, знаменатель (1 + О, а число члеПОВ п.

Отсюда:

гле.s коэффициент наращения ренты, который зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки •i.

[> Пример 13. В течение трех лет па расчетный счет в КОПЦС кажлого гола поступает по 10 М.ЛП руб., па которые олип раз в гол пачис.ляются проценты по сложной ставке годовых.

Определить сумму па расчетном счете к КОНЦУ указанного срока.

Известно: п З гола;

К) = 10 000 000 руб),

Решение

1-й вариант. Вычисления с ПОМОЩЬЮ ПОДРУЧНЫХ ВЫЧИС.ЛИТС.ЛЬПЫХ средств производятся по формуле ('23)•

S = 10 000 + 1 1/0,1 З?) 100 руб)

2-й вариант. для выполнения расчетов в Excel по формулам дополнительно воспользуемся математической функцией СТЕП ЕНЬ (рис. 26)

Рис. 26. Результаты расчета наращенной суммы S

(в ячейку НЗ введена формула: )/B4)

3-й вариант. Для расчетов наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории «Финансовые»). Данная функция возвращает будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставки (рис. 27)

Рис. 27. Результаты расчета наращенной суммы S по функции БС (в ячейку Н4 введена формула: = БС(В4;В2;-ВЗ)

Синтаксис функции БС рассмотрен ранее (см. S 2.3).

3.2.2. Годовая рента с начислением процентов

Т раз в году

Если платежи делают один раз в конце года, а проценты наЧИСЛЯют т раз в году, то каждый раз применяется ставка] т, где] — номина.льная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными ло КОШи срока процентами ИМс?тОТ вид:

Если читать последнюю формулу справа палево, то можно увидеть геометрическую прогрессию, у которой R — первый член,

знаменатель, а п — число членов.

Сумма членов этой прогрессии представляет собой наращенную сумму ренты:

+Ј/^тУ^п- ¹] (24)

> Пример 14. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб., на которые ежеквартально (т = 4) начисляются проценты по сложной ставке 10 ⁰0 годовых.

Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно. п = З года;

R = 10 000 000 руб,

) = 0,10

Найти: S =?

Решение

1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (24)•

S = 10 000 +

= 33 222 157,88 руб

2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в Excel дополнительно используем математическую функцию СТЕПЕНЬ (рис. 28)

Рис. 28. Результаты расчета суммы S к концу указанного срока в Excel (в ячейку НЗ введена формула:

СТЕПЕНЬ(1 СТЕПЕНЬ(1 83)-1

3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствует готовая финансовая функция шля решения данной задачи.

3.2.3. Рента р-срочная с начислением процентов

один раз в году (т = 1)

Когда рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года и известна R — годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа будет равен R р. Л.ля получения формулы наращенной суммы рассмотрим последовате.льность платежей с начисленными до конца срока процентами как геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке:

у которой R р — первый член, (1 + •i) ^l") знаменатель, пр — общее ЧИСЛО членов.

С учетом этого наращенная сумма ренты будет равна сумме члепов геометрической прогрессии:

гле.s•n

(р)

коэффициент наращенияр-срочной ренты при т = 1.

Пример 15. В течение трех лет на расчетный счет в конце кажлого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в гол, т.е. по 10/4 млн руб. в квартал, на которые в конце каждого гола начисляются проценты по сложной ставке 10 ⁰0 годовых.

Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно: п З года;

R = 10 000 000 руб,

Найти: $ =?

Решение

1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (25)•

(10 000

= 34 316 607,35 руб

2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в среде

Excel используем математическую функцию СТЕПЕНЬ (рис. 29)

Рис. 29. Результаты расчета в Excel суммы на расчетном счете к концу указанного срока

(в ячейку НЗ введена формула:

1 +B6;B2)- 1 1 1 /B5)-1

3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel В Excel отсутствуют готовые финансовые функции для решения подобных задач.

3.2.4. Рента р-срочная, когда число платежей

совпадает с начислением процентов (р = т)

В контрактах часто начисление процентов т и поступление платежа совпадают во времени, т.е. р = т. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в КОПЦС года, для которой

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Тогда получаем:

Пример 16. В течение трех лет на расчетный счет в конце кажлого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 М.Л П руб. в год, т.е. по 10/4 млн руб. в квартал, на которые ежеквар начисляются проценты по сложной ставке 10 ⁰0 годовых.

Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно: п З года;

К) = 10 000 000 руб,

Решение

1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительП ЫХ средств произведем по формуле (26):

S = 10 000 + 11/0,1 = ЗМ 488 882,42 руб

2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в Excel воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ (рис. 30).

НЗ -34 СТЕПЕНЬ(ВЗВЗ.ВЗ 82)-1

с О

Дано

2 З года 4 10 000 000 руб.

Решение

34 488 882,42.

Расчет суммы, на расчетном счете к кон срока по формуле

Найти

Рис. 30. Результаты расчета в Excel наращенной суммы S

(в ячейку НЗ введена формула: )/B5)

3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. для расчета наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории «Финансовые»). Данная функция возвращает будущую

стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставки (рис. 31).

Рис. 31. Результаты расчета наращенной суммы S

(в ячейку [-45 введена формула:

3.2.5. Рента р-срочная с произвольным поступлением платежей 1 и произвольным начислением процентов т > 1 (общий случай)

Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно, р т.

член ренты R р, уплаченный спустя 1 р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами величину, равную

тп- т р

Второй член ренты к концу срока возрастет до

тп-'2(т р)

ПоследпиЙ член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R р, ее знаменатель (1 +) т) ^т/^рЧИСЛО членов ПТ.

для данного случая наращенная сумма рассчитывается по фор-

(

р)п.р

(27)

Из последней формулы легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения р и т.

t> Пример 17. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р = 4) равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (т = 12) начисляются проценты по сложной ставке 10 ⁰/0 годовых.

Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно. п = З года; т = 12,

R = 10 000 000 руб,

Найти: S =?

Решение

1-й вариант. Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств. По формуле (27) находим. s = (10 000 = 34 529 637,96 руб

2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в строку формул вводим формулу, соответствующую (27), и для вычисления степени используем функцию СТЕПЕНЬ (рис. 32)