1. Найти число ближайших соседей в ОЦК, ГЦК и ПК решетках.
2. Показать, что кристаллическая решетка может иметь оси поворота лишь 1, 2, 3, 4, 6 порядков.
3. При кристаллизации NaCl образуется кристаллическая решетка μ = 58.46 г/моль, ρ = 2.167 г/см3. Найти постоянную решетки.
4. Чему равно число атомов в элементарной ячейке со структурой:
· ПК
· ГЦК
· ОЦК
5. Вывести формулу для объема элементарной ячейки.
6. Доказать, что произведение объема прямой решетки на объем обратной
решетки равно 1.
7. Вывести формулу для объема элементарной решетки через стороны и
углы между ними.
8. Определить объем элементарной ячейки через радиусы равновеликих
шаров, образующих плотнейшую упаковку для ПК решетки и рассчитать коэффициент компактности решетки.
9. Определить объем элементарной ячейки через радиусы равновеликих
шаров, образующих плотнейшую упаковку для ГЦК решетки и рассчитать коэффициент компактности решетки.
10. Определить объем элементарной ячейки через радиусы равновеликих
шаров, образующих плотнейшую упаковку для ОЦК решетки и
11. Определить объем элементарной ячейки через радиусы равновеликих
шаров, образующих плотнейшую упаковку для ГПУ решетки и
рассчитать коэффициент компактности решетки.
12. Доказать, что в кубическом кристалле любое направление [h, k, l]
перпендикулярно к плоскости (h, k, l).
1. Показать, что для случая простой кубической решетки формула Вульфа-
Брегга является следствием условия Лауэ.
14. Вывести формулу для расстояния между соседними плоскостями
в триклинной системе.
15. Вывести формулу для расстояния между соседними плоскостями
в моноклинной системе.
16. Вывести формулу для расстояния между соседними плоскостями
в ромбической системе.
17. Вывести формулу для расстояния между соседними плоскостями
в тетрагональной системе.
18. Вывести формулу для расстояния между соседними плоскостями
в гексагональной системе.
19. Вывести формулу для расстояния между соседними плоскостями
в кубической системе.
20. Появится ли в рентгенограмме линия, возникшая при отражении от
плоскостей (2,0,0) и (1,0,0) в ГЦК решетке.
21. Показать, что при рассеянии рентгеновских лучей атомами кристалла
с пространственной ОЦК решеткой в отражении на рентгенограмме не возникнет линий от плоскостей, у которых h+k+l число нечетное.
22. Показать, что при определении коэффициента термического расширения
рентгеновским методом более точные результаты получаются при
измерениях на линиях с большими брегговскими углами.
23. Какое максимальное количество линий может появляться на
рентгенограмме от простой кубической решетки с постоянной решетки
a=2.86*10-8 см, если измерение ведется на кобальтовом излучении с
λ=1.789*10-8 см.
24. Известно, что λ рентгеновского излучения с медного анода λсu= 1.537 А.
Эти лучи, попадая на кристалл алюминия, вызывают дифракцию от
Плоскостей (111) под брэгговским углом θ = 19.2º. Алюминий
кристаллизуется в ГЦК решетку, ρ(Al) = 2.699 кг/м3. Атомный вес
А = 26.98. Найти число Авогадро.
25. Кубическая простая решетка подвергнута растяжению [1,0,0]. Найти выражение для коэффициентов Пуассона через упругие постоянные.
26. Найти соотношения между модулями упругости и упругой податливости кубического кристалла.
27. Какие ограничения накладываются на значения упругой жесткости?
28. Рассмотреть распространение волн в направлении диагоналей грани куба в кубическом кристалле.
29. Определить значение дисперсии цепочки атомов, взаимодействующих только с ближайшими соседями с силой F = -βx, a – постоянная решетки, m – масса атомов.
30. Найти связь между α, χ, j, где
.
31. Определить по классической теории среднюю энергию гармонического осциллятора.
32. Определить число атомов в эл. сечении железа кубической системы.
33. ОЦК решетка состоит из атомов 1 сорта, имеющих радиус R. Пусть атомы касаются по диагонали куба. Определить плотность упаковки этой структуры.
34. Энергия взаимодействия соседних атомов в кристалле имеет вид U(r) = - α /r2 + β/r10, межатомное расстояние R = 3А, энергия связи Е = 4 эВ. Найти силы, стремящиеся вернуть атомы в положение равновесия при увеличении и уменьшении межатомного расстояния на 1%.
35. U(r) = - α /rn + β/rm. Доказать, что в общем случае m>n.
36. Определить значение постоянной Маделунга для одномерной решетки, состоящей из последовательно чередующихся положительных и отрицательных ионов.
37. Энергия ионного кристалла складывается из энергии кулоновского взаимодействия ионов и отталкивающего квантово-механического взаимодействия вида λ/r. Расстояние между ионами в состоянии равновесия равно R0. Найти энергию одномерной ионной решетки.
38. Вычислить постоянную Маделунга для бесконечно плоской сетки, состоящей из положительных и отрицательных ионов.
39. Показать, что модуль встроенного сжатия в кристалле NaCl k = |U0|mn/gV0. Дано, что молярный объем кристалла V0. Общая энергия взаимодействия между атомами U0, атомы взаимодействуют по закону
U(r) = -α/rn + β/rm.
40. В медном проводнике с S = 0.2 см2 течет ток I = 1A. Найти дрейфовую скорость.
41. В медном проводнике σ = 6*107 Ом -1м –1. Считая, что каждый атом отдает по одному электрону, найти время релаксации.
42. Германий – проводник р-типа. Определить его удельное сопротивление при концентрации дырок ρ = 3,1*1020 м –3.
43. Вычислить плотность носителей заряда в собственном Ge. Т = 300 К,
ρ = 0.47 Ом*м, μn = 0.38 м2/В*с, μр = 0.18 м2/В*с.
44. Вычислить скорость дрейфа электронов и дырок Ge при Е = 103 В/м.
45. Образец из полупроводника прямоугольной формы 0.2*0.2*0.05 см имеет концентрацию электронов n = 10-21 м-3. К нему приложено напряжение U = 20 B. Зная, что μn = 0.16 м2/В*с, μр = 0.04 м2/В*с, найти коэффициенты диффузии.
46. Показать, что электронная поляризуемость атомов в переменном электрическом поле частоты W равна α = g2/m(W02 – W2) в предположении, что внутреннее поле равно внешнему.
47. Атом с поляризуемостью α помещен в однородное электрическое поле с напряженностью Е. Показать, что энергия, запасенная в поляризованном атоме U = 1/2αE2.
48. Найти электрическое поле в центре сферической полости радиуса а однородно поляризованного диэлектрика.
49. Показать, что дипольный момент молекулы во внешнем электрическом поле не зависит от участия внутренних зарядов в тепловом движении.
50. Определить составляющую теплоемкости диэлектрика, обусловленную дипольной поляризацией.
51. Рассмотреть твердый диэлектрик, содержащий в 1 м3 N одинаковых атомов. Поляризуемость атомов [α] = Ф*м2. Полагая, что внутреннее поле равно полю Лоренца, вывести соотношение, связывающее диэлектрическую проницаемость и поляризуемость.
52. Рассмотреть с помощью полуклассической модели атом водорода в основном состоянии, помещенный в электрическое поле перпендикулярно к плоскости электронной орбиты. Показать, что в такой модели α = r3 (СГЭС).