Образцы решения типовых заданий.

Методическое пособие

(варианты контрольных работ и указания к их выполнению)

по дисциплине “Математический анализ”

 

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ СОКРАЩЕННОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ

 

 

КАЛИНИНГРАД

 

Содержание.

 

 

Страница

Пояснительная записка _________________________________________ 4

Образцы решения типовых заданий________________________________5

Литература ___________________________________________________ 8

 

 

Пояснительная записка

 

Данная методическая разработка предназначена для студентов заочного отделения всех специальностей. В ней содержатся варианты контрольных работ по математическому анализу, образцы решений типовых заданий и список необходимой литературы. Предусмотрены два типа контрольных работ – для студентов со средним полным образованием и для студентов, имеющих среднее профессиональное образование (СПО).

Курс математического анализа – один из базовых курсов, на которые сегодня опираются общепрофессиональные дисциплины и дисциплины специализации. Математические науки играют огромную роль в образовании современного высококлассного специалиста в технических областях, предоставляя ему аппарат исследования, дисциплинируя, приучая к строгим логическим рассуждениям. Поскольку язык и методы математики широко используются при современном преподавании всех естественнонаучных и технических дисциплин, математика изучается с первого семестра в любом высшем техническом учебном заведении, и на неё выделяется значительная часть бюджета времени студента.

Математический анализ занимает ведущее место среди всех математических дисциплин, изучаемых в технических институтах. Это связано, во-первых, с широким кругом вопросов, охватываемых этой дисциплиной, во-вторых, с тесной связью её практически со всеми изучаемыми в высшей школе предметами математического цикла и с некоторыми другими естественнонаучными дисциплинами (такими, как физика).

Курс математического анализа содержит в себе следующие основные части: элементы теории множеств, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и нескольких переменных, а также теорию рядов. Цель читаемого курса – дать студенту представление о классических методах математического анализа и их применении к решению прикладных и конкретных технических задач; привить необходимую математическую культуру и развить технику математических вычислений; ознакомить студента с историей развития математической науки и ролью российских и советских учёных в её становлении.

По окончании изучения дисциплины студенты должны иметь чёткое представление об основных методах исследования свойств функций методами дифференциального и интегрального исследования. Они должны знать основные определения, теоремы и формулы математического анализа и уметь их применять к решению практических задач, в том числе, решаемых с помощью ЭВМ.

Согласно учебным планам для студентов со средним образованием, предусмотрены две контрольные работы, а для студентов со средним профессиональным или техническим образованием – одна. Выполнять работу следует на обычной ученической тетради в клеточку, и сдать на проверку до экзамена. По договорённости с преподавателем, контрольную работу можно выполнять в электронном виде и предоставлять на проверку на дискете или присылать по электронной почте.

Своевременно и верно выполненная работа – необходимое условие сдачи экзамена по предмету. Выполненная не до конца, или содержащая ошибки контрольная работа не зачитывается, и возвращается студенту для повторного выполнения. Кроме того, на экзамене преподаватель может использовать контрольную работу для собеседования со студентом и задать по ней ряд вопросов. Поэтому студент, являясь на экзамен должен иметь при себе зачтенную контрольную работу.

 

 

Образцы решения типовых заданий.

 

ПРИМЕР 1. Найдите предел

 

Решение.

 

Разделим числитель и знаменатель выражения на 7ⁿ. После преобразований получим:

.

(Так как при выражение стремится к нулю по свойству показательной функции с основанием 0<a<1).

 

ПРИМЕР 2. Найдите предел

 

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на :

.

 

ПРИМЕР 3. Найдите предел .

 

Решение.

 

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение . Получим:

.

 

 

ПРИМЕР 4. Найти предел

Решение.

 

Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;

 

.

 

ПРИМЕР 5. Найти предел .

хà¥

Решение.

 

Имеем неопределённость вида . Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, преобразуем данную функцию:

 

^.

ПРИМЕР 6. Продифференцировать функцию: .

 

Решение.

 

Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:

.

 

ПРИМЕР 7. Найти производную функции, заданной неявно: .

 

Решение.

 

Дифференцируем данную функцию по х:

, откуда

 

ПРИМЕР 8. Найти производную от функции, заданной параметрически: .

 

Решение.

 

.

 

 

ПРИМЕР 9. Найти область определения функции

 

Решение.

 

Данная функция определена для всех х, не обращающих в нуль знаменатель, т.е. не являющихся корнями уравнения . Это все числа вида .

Таким образом, область определения D(у) - вся числовая прямая, кроме точек .

 

 

ПРИМЕР 10. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

 

Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

Так как в точке функция имеет бесконечный разрыв, то прямая является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).

;

.

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).

Итак, и уравнение асимптоты . Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.

Найдем производную функции и критические точки:

. Стационарная критическая точка: . Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;¥).

 

 

 

Составим таблицу:

 

 

 

Экстремум функции: .

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

, при .

Определим знак второй производной в интервалах и

+

-

:

 

 

 

Составим таблицу:

 

 

y()=3/() » 0.33

График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:

 

 

	е

 

3. Список литературы:

 

1. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Высшая школа, 1993.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Высшая математика (задачник). М. Высшая школа, 1993.

3. Выгодский М.Я.: Справочник по высшей математике. М. Просвещение, 2002.

4. Демидович Б.П.: Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. Высшая школа, 1986.

5. Ильин В.А, Поздняк Э.Г.: Основы математического анализа. М. Высшая школа, 1994.

6. Кудрявцев Л.Д.: Курс математического анализа. М. Высшая школа, 1998.

7. Кудрявцев Л.Д.: и др. Сборник задач по математическому анализу (ч.1 и 2). М. Высшая школа, 1998.

8. Кузнецов Л.А.: Сборник задач по высшей математике (типовые расчёты). М. Просвещение, 1983.

9. Мантуров О.В.: Матвеев Н.М. Курс высшей математики. М. Высшая школа, 1996.

10. Минорский В.П.: Сборник задач по высшей математике (ч.1 и 2). Наука, 1982.

11. Миносцев В.Б.: Курс высшей математики. М. РИЦ МГИУ, 2001.

12. Щипачёв В.С.: Высшая математика (для экономических специальностей). М. Высшая школа, 2001.