Трехфазные цепи синусоидального тока

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Задания и методические указания к выполнению семестровой работы

Волгоград, 2005

УДК 621.3.011.7(075)

Трехфазные цепи синусоидального тока: Задания и методические указания к выполнению семестровой работы. /Сост. канд. тех. наук, доцент С.И. Николаева, Волгоград. гос. ун-т. –Волгоград, 2005. -24с.

В работе приведены варианты заданий для выполнения семестровой работы по теме «Трехфазные цепи синусоидального тока». Даются методические указания и приводятся примеры расчета трехфазной цепи при индуктивной и емкостной нагрузке, соединенной по схеме «треугольник». Работа рассчитана на 2 часа аудиторных и 4 часа домашних занятий.

Работа предназначена для студентов всех форм обучения и может быть использована в курсах «Теоретические основы электротехники», «Общая электротехника» и «Электротехника и электроника».

Рис. 4. Табл. 2. Библиогр.: 4 наименования.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета (ВолгГТУ)

Рецензент: ст. препод. Л.В.Хоперскова

технический университет

1. Задания и указания по выбору варианта

Цель задания – закрепление приобретенных навыков по анализу электрического состояния трехфазных цепей переменного тока. Вариант задания выбирается студентом по номеру в журнале учебной группы из таблицы 1.

К трехфазной цепи с линейным напряжением (см. рис.1) подключен трехфазный симметричный приемник, соединенный по схеме “треугольник”, и группа однофазных приемников, соединенных по схеме “звезда” с нейтральным проводом. Сопротивление нейтрального провода пренебрежительно мало. Прочерк в задании значения сопротивления в фазе приемника, соединенного по схеме “звезда”, означает отсутствие этого сопротивления, т.е. величина сопротивления равна бесконечности (разрыв цепи).

Определить:

1). Токи в однофазных приёмниках соединённых по схеме “звезда”;

2). Фазные и линейные токи приёмников, соединенных по схеме “треугольник”;

3). Показания ваттметров и активную мощность трёхфазной цепи;

4). Построить векторные диаграммы напряжений и токов и по ним определить токи в линейных проводах и ток в нейтральном проводе.

Векторные диаграммы напряжений и токов для соединения “звезда” и “треугольник” строятся в одной системе координатных осей.

Рис. 1. Трехфазная электрическая цепь.

Таблица 1. – Исходные данные для расчета по вариантам

№ вар.

U_л _В

Соединение потребителей по схеме “звезда”

Соединение потребителей по схеме “треугольник”

(Ом)

Р_н Вт

Cosφ

Род нагрузки

5+j4,2

4,2+j6

3+j6

-j15

15-j10

8-j20

0,85

емк.

7-j2,5

6-j3

-j2

10+j10

18-j10

17-j18

5-j4

0,78

инд.

17-j17

14+j9,8

12-j48

10+j17

20+j14

15-j9

0,95

инд.

21+j25

25+j10

13-j10

15+j7

18-j18

+j18

0,95

емк.

10-j5,8

5,5+j15

6+j5,4

-j4

10-j4

9+j8

2-j11

0,87

инд.

12-j48

6-j24

4+j6

15+j26

11+j7

10-j19

0,8

инд.

6+j5,5

-j15

12-j12

9+j18

8-j13

14+j16

0,8

инд.

5,6-j8

7-j7

15+j5

17-j8

19+j12

-j20

19-j8

0,7

емк.

4,2+j5

8+j7

9-j7

5+j6

10+j14

2-j2

12-j12

0,85

инд.

10.

3+j6

5,6-j8

7,5-j30

17+j8

16+j10

4+j10

+j10

0,65

инд.

11.

14+j9,8

10+j10

16-j8

10+j5,8

21+j8

3-j20

-j15

0,9

инд.

12.

15-j6

6+j5,4

+j10

6-j4

-j11

11+j11

16+j18

0,8

емк.

13.

17+j8

+j2

18-j8

5-j11

6+j3

23+j15

20-j20

0,75

емк.

14.

36+j18

40+j20

8+j16

25-j10

48-j24

+j30

10+j15

0,85

инд.

15.

23-j49

14+j30

20-j10

15-j15

25+j20

-j5

16-j6

0,78

емк.

16.

13+j3,5

10-j6

20-j13

7+j2,5

18+j4

15+j10

0,9

емк.

17.

20+j12

15-j6

19-j7,5

16+35

10-j13

11-j11

0,75

инд.

18.

22+j26

8+j18

10-j5,8

6-j24

+j24

7-j12

8+j20

0,95

инд.

19.

+j9

7,5-j30

5,5+j45

-j6,5

8,5+j11

13-j8

10-j8

0,7

инд.

20.

7-j10

9+j9

11-j11

+j10

13-j14

8+j6

12+j24

0,8

емк.

21.

11-j19

18+j5

10-j20

15-j6

17-j11

-j28

6+j13

0,78

емк.

22.

4+j2

11-j4

4,2+j5

7,5-j30

10-j9

20-j18

0,65

инд.

23.

-j2

10+j5,8

6+j5,4

5-j8

18+j8

15+j7

17-j10

0,87

инд.

24.

25+j9

-j3

20-j9

14+j6

20-j12

5,6-j8

9-j9

0,9

инд.

25.

4+j3,6

5,8+j10

11-j9

+j8

14-j9,8

6-j5,5

12+j12

0,7

емк.

26.

8+j14,4

13-j14

10-j6,8

8+j1,5

12-j10

15+j20

0,65

емк.

27.

16+j35

21+j25

15-j20

16+j10

13+j20

5-j3

0,8

инд.

28.

27-j83

40+j20

19-j14

J14

19+j10

25+j20

6-j2

0,95

емк.

29.

30-j48

15+j24

25+j9

5-j19

+j19

15-j11

14+j26

0,78

инд.

30.

11,7+j25

11-j5,8

7+j8

13-j3,5

14+j20

10-j5

0,85

емк.

Пример выполнения.

Пусть параметры цепи заданы таблицей 2

Таблица 2.

U_л

z _а1

z _а2

z _а3

z _в1

z _в2

z _в3

z _с1

z _с2

z _с3

Р_н

Cos φ

Род нагрузки

Ом

Вт

380 В

10 + j9,8

10 + j10

10 – j8

10 + j5,8

21 + j8

- j15

0,85

Индуктивная

Примечание. Прочерк в задании означает отсутствие комплексного сопротивления, т.е. величина этого сопротивления равна бесконечности (разрыв в цепи).

Изобразим схему в соответствии с условием задания.

Рис. 2. Заданная трехфазная цепь

Отсутствие резистивных элементов z _а1 и z _а2 на схеме (рис. 2) объясняется отсутствием значения резистивного элемента z _а2 (прочерк в таблице).

Способ 1.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ

Предварительно определяем фазные и линейные напряжения в трёхфазной сети.

Для определения соотношений между фазными и линейными напряжениями трёхфазной сети учтём, что:

Трёхфазная цепь при соединении “звезда” имеет нейтральный провод, сопротивление которого пренебрежительно мало, поэтому:

Полагаем, что для фазы А начальная фаза Ψ_А = 0, тогда напряжение в комплексной форме:

Для фазы В:

Для С:

Связь между линейными и фазными напряжениями легко найти, воспользовавшись вторым законом Кирхгофа, согласно которому для контура ANBA рис. 2 имеем:

откуда:

где – линейное (между началами фаз А и В) напряжение. Аналогично могут быть получены выражения и для других линейных напряжений.

(1)

Пункт 1.

Определение фазных токов в однофазных приёмниках, соединённых по схеме “звезда”.

1) найдём комплексные сопротивления фаз приёмников

где

, Ом

- комплексное сопротивление ветви в фазе В, содержащей приёмники и .

2) определяем фазные токи

3) токи в однофазных приемниках при соединении “звезда”

Пункт 2.

Определение фазных и линейных токов приемников, соединенных по схеме “треугольник”.

1) находим фазные сопротивления приемников, соединенных по схеме “треугольник”. При этом следует учесть, что при соединении “треугольник” справедливо соотношение U_л = U_ф.

Так как при симметричной нагрузке:

, а

где z_ф – модуль комплексного сопротивления фазы.

Тогда:

откуда:

Комплексные сопротивления приемников каждой фазы:

Величина Sin φ определяется по заданному значению Cos φ.

2) определяем фазные токи при соединении потребителей “треугольником”.

(1)

3) определяем линейные токи при соединении “треугольник”.

(2)

Пункт 3.

Определение показателей ваттметров и активной мощности трёхфазной сети

1) полная комплексная мощность в каждой фазе от потребителей, соединённых по схеме “звезда” определяется следующим образом:

ВА,

å å å

где

- сопряженный расчётному комплексный ток соответствующей фазы

Активная мощность в каждой фазе при соединении потребителя “звездой” определяется вещественной частью выражения для полной комплексной мощности.

2) активная мощность потребителей, соединенных по схеме “треугольник”, приходящаяся на одну фазу ввиду симметричности нагрузки

3) показания ваттметров определится как сумма активных мощностей в фазах от потребителей, соединенных в “звезду” и потребителей, соединенных в “треугольник”

4) активная мощность Р трехфазной сети

å å å

Пункт 4. Построение векторных диаграмма напряжений и токов, определение токов в линейных проводах и тока в нейтральном проводе.

Векторные диаграммы строим в комплексной плоскости. Вещественную ось направляем вертикально, Мнимую – горизонтально. Положительную полуось мнимой оси направляем влево, что будет соответствовать вращению векторов против часовой стрелки и прямому вращению фаз трёхфазной системы от А до Б и далее к С.

1) так как начальная фаза А равна 0, φ_А=0, то вектор фазного напряжения фазы А совмещаем с положительной полуосью действительной оси. Векторы фазных напряжений фаз В и С строим соответственно под углами 120⁰ и 240⁰ в сторону отставания.

Для построения векторов линейных напряжений геометрически решим систему уравнений (1). Рассмотрим построение векторов линейных напряжений на примере построения вектора линейного напряжения .

Из правила вычитания двух векторов известно, что векторная разность будет предоставлять отрезок прямой, соединяющей концы векторов уменьшаемого и вычитаемого и направленные из вектора вычитаемого в сторону вектора уменьшаемого. Согласно этому на рис. 3 соединяем концы векторов и направляем вектор от вектора к вектору .

2) построение векторных диаграмм токов для соединения потребителей “звездой” и “треугольником” ведём по проекциям, так как комплексы векторов токов вычислены в алгебраической форме. Пояснения по построению фазных и линейных токов для потребителей, соединенных по схеме “треугольник”, и векторов фазных токов для потребителей, соединенных по схеме “звезда” не требуется.

3) определение токов в линейных проводах. Очевидно, что токи в линейных проводах согласно первому закону Кирхгофа, определяются как геометрическая сумма токов в линейном проводе от потребителей, соединенных по схеме “звезда” (), и тока в линейном проводе, определяемый системой уравнений (2), от потребителей, соединенных по схеме “треугольник”. Покажем нахождение линейного тока в линейном проводе А.

или воспользовавшись системой (2) и подставив , получим:

Пояснения к геометрическому решению данного векторного уравнения не требуется.

Аналогично находятся токи в линейных проводах В и С.

Модули величин токов в линейных проводах получены из векторной диаграммы умножением длинны отрезка, изображающего вектор тока в линейном проводе, на масштаб векторной диаграммы.

Для построения векторной диаграммы нами были выбраны масштабы:

- для напряжения

- для тока

4) определение тока в нейтральном проводе.

Согласно первого закона Кирхгофа для нейтральной точки можно записать уравнение:

å å å

Разъяснения по решению этого векторного уравнения не требуется. Из векторной диаграммы находим модуль тока в нейтральном проводе:

Из векторной диаграммы можно найти начальную фазу тока в нейтральном проводе:

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.

Способ 2.

ГРАФО – АНАЛИТИЧЕСКИЙ

Пример анализа электрического состояния трёхфазной цепи графическим методом.

Предварительно находим величину (модуль) фазного напряжения для соединения потребителей по схеме “звезда”

Векторную диаграмму будем строить в комплексной плоскости. Положительное направление вещественной оси выбрано вертикально вверх, мнимой оси – горизонтально влево.

Выбираем масштаб для напряжений и токов.

- для напряжения

- для тока

Вектор совмещается с действительной осью, так как полагаем, что начальная фаза вектора равна нулю, т.е. .

Вектора фазных напряжений строим под углами 120⁰ и 240⁰ соответственно от вектора в сторону отставания.

Построение векторов линейных напряжений осуществляем также как и при рассмотрении аналогичного построения при решении упражнения способом 1. Например, для построение вектора соединяем концы вектора и и направляем вектор от вектора к вектору , тем самым нами реализовано равенство:

Пункт 1. Определение токов в однофазных приемниках, соединенных по схеме “звезда”.

Найдем комплексные сопротивления фаз приемников, соединенных по схеме “звезда”.

- комплексное сопротивление ветви в фазе В, содержащей приемники и .

Находим модули комплексных сопротивлений фаз приемников, соединенных по схеме “звезда”. Так как комплексное сопротивление представляет собой последовательно соединенные резистивный элемент, величина сопротивления которого равна вещественной части комплексного числа и индуктивный (емкостной) элемент, реактивное сопротивление которого определяется минимальной частью комплексного числа, т.е. если , то:

Тогда:

Находим модули соответствующих фазных токов:

Находим углы сдвига фаз между фазным током и соответствующим фазным напряжением.

Исходя из выше сказанного получим:

откуда:

(нагрузка индуктивная);

(нагрузка емкостная);

(нагрузка емкостная).

Характер нагрузки определяется знаком мнимой части комплекса полного сопротивления . Если нагрузка индуктивная, то перед мнимой частью стоит знак “+”, ток отстает по фазе от соответствующего фазного напряжения.

Из начала координат строим вектор тока под углом 45⁰ к фазному напряжению в сторону отставания. Под углом к вектору напряжения строим вектор фазного тока. Вектор опережает вектор . Под углом в сторону опережения вектора фазного напряжения строим вектор фазного тока .

Пункт 2. Определяем фазные и линейные токи приемников по схеме “треугольник”.

Угол сдвига фаз между током и напряжением:

Под углом к вектору линейного напряжения, которое для соединения потребителей “треугольником” является одновременно фазным, строим векторы соответствующих фазных токов.

Векторы линейных токов потребителей соединенных по схеме “треугольник” найдутся из уравнений.

Как графически реализуются данные уравнения уже пояснилось.

Замечание. Так как нагрузка в соединении потребителей “треугольником” симметричная, то отношения между фазными и линейными током определяются уравнением:

Причем линейный ток отстает от фазного на угол 30⁰. Это обстоятельство можно использовать при построении векторов линейных токов при соединении потребителей “треугольником”.

Пункт 3. Определение токов в линейных проводах и тока в нейтральном проводе.

Так как векторные диаграммы токов и напряжений уже построены, целесообразно перейти к выполнению пункта 4. токи в линейных проводах определяются из равенства:

å å

Ток в нейтральном проводе определяется уравнением:

å å å

Каких либо пояснений по графической реализации указанных уравнений не требуется.

Пункт 4. Определение показаний ваттметров и активной мощности трехфазной цепи.

Ваттметр показывает активную мощность, которая определяется, например, для фазы А, формулой:

Из векторной диаграммы определяем токи в линейных проводах и углы сдвига фаз между соответствующими током и напряжением:

- показания ваттметра РА,

- показания ваттметра РВ,

- показания ваттметра РС.

Активная мощность всей цепи:

Рассмотрим случай, когда нагрузка в приемнике, соединенном по схеме “треугольник”, носит емкостной характер. Все остальные параметры соответствуют данным таблицы 2.

Изменения в расчете аналитическим методом произойдут в пункте 2. Комплексные сопротивления приемников каждый каждой фазы будут иметь вид:

Фазные токи при соединении потребителей “треугольником”:

Линейные токи при соединении “треугольником”:

Больше изменений в расчетах не произойдет. В результате изменения токов, поступающих в нагрузку, соединенную “треугольником”, изменятся линейные токи:

Их значения определяются геометрической суммой соответствующих векторов, как и в случае индуктивной нагрузки. Из построенной векторной диаграммы (рис. 4) определяется значение этих токов:

Соответствующая векторная диаграмма приведена на рис. 3.

При расчете графо-аналитическим методом существенным изменением при емкостной нагрузке будет построение фазных токов в нагрузке, соединенной “треугольником”.

Фазные токи строится под углом 31,8⁰ в сторону опережения соответствующих векторов напряжений.