Геометрия до Евклида. «Начала» Еевклида. Критика системы аксиом Евклида. Проблема 5-го постулата.




Геометрия возникла в глубокой древности под влиянием жизненных потребностей человека. Ее первые положения явились ответами на те вопросы, которые жизнь ставила перед человеком. В процессе развития производственной исторической практики людей геометрические представления уточнялись и углублялись. Период накопления знаний наблюдался у всех народов, но особенно бурно и плодотворно он протекал на др.Востоке: в Вавилоне, Египте, Китае, Индии. Чтобы изучать геометрические свойства реальных тел, люди д.б. отвлечься от всех прочих свойств этих тел. Так появились точки без протяжений, линии без ширины, поверхности, имеющие длину и ширину. Дошедшие до нас памятники древнейших цивилизаций свидетельствуют, что геометрия носила эмпирический характер и представляла собой множество частных решений отдельных задач. Никаких геометрических док-в у др.математиков мы не находим, а только правило: «делай так». Для обоснования высказывания геометрических утверждений древние обращались к интуиции, как единому аргументу, обосновывающему правильность утверждения. Пример такого «обоснования» мы находим у индусского математика Ганеши:

круг равновелик параллелограмму, у которого длина основания , а высота .

До 7 в до н.э. геометрия представляла собой смесь фактов из разных наук и носила чисто прикладной характер. После 7в начинается новый этап в развитии геометрии. Греки предпринимают серьезные шаги к строгому логическому обоснованию геометрии, т.е. превращение ее в строгую научную теорию. Греческая теория м.б. разбита на следующие этапы: 1 .Первоначальная геометрия. Создана геометрическая школа, введены первые геом-е док-ва. (Фалес, его Милетская школа). 2. Пифагорейцы (Пифагор и его школа). Сделано док-во о сумме углов тр-ка, док-во теор. Пифагора, установлено существование 5 типов правильных многоугольников, введены несоизмеримые отрезки, появляется различие между арифметикой и геометрией. 3. Платон и Аристотель. Они впервые пытались систематизировать накопленный геометрический материал и поставили задачу строгого логического обоснования геометрии.

 

К 3в до н.э. Греки имели глубокие геометрические знания. У них был не только запас геом. фактов, но и методы геом. док-в. Первые дошедшие до нас сведения о попытках строгого логического обоснования геометрии связаны с именами Гиппократа и Федия.

«Начала» Евклида - первые математические сочинения (здесь систематизированный курс геом.),(3в до н.э.).

«Elementic»-название Евклида (отсюда термин- элем.геом.). «Начала» Евклида состоит из 13 книг, 5 из них посвящены пропорциям и арифметике, остальные – геометрии.

Каждую книгу Евклид начинает с тех понятий, которые употребляются в дальнейшем. Так, например, в 1й книге предпосланы 23 определения: 1.точка есть то, что не имеет частей. 2. линия есть длина без ширины. 3. концы же линии – суть точки. 4. прямая есть та линия, которая одинаково распределена по отношению ко всем своим точкам. 5. поверхность есть то, что имеет только длину и ширину и т.д.

В след за определениями Е. приводит постулаты и аксиомы. Принцип деления предложений на постулаты и аксиомы современным математикам не ясен. Можно предположить, что постулатами описываются геометрические построения, а аксиомы описывают геометрические понятия наиболее часто употребляемые при доказательствах.

Всего 5 постулатов. Все они начинаются со слова “требуется”.

1.требуется, чтобы от каждой т. ко всякой др. т. м.б. провести прямую линию.

2. требуется, чтобы каждую пр. можно было неопределенно продлить.

3. требуется, чтобы из любого центра можно было описать окружность любого радиуса.

4. требуется, чтобы все прямые углы были равны.

5.

 

 

требуется, чтобы всякий раз, когда пр. при пересечении с двумя др. прямыми образует с ними внутренние остроугольные углы, сумма которых меньше двух прямых, эти пр. пересеклись бы с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

После постулатов формируется 9 аксиом.

1. равные порознь третьему равны между собой.

2. если от равных отнять равные, то получим равные.

3. если от равных отнять равные, то получим равные.

7. и совмещающиеся равны (позволяет ввести движение плоскости).

После формулировки аксиом Е. формулирует теоремы, располагая их в такой последовательности, чтобы каждую можно было доказать, используя только предыдущие постулаты, аксиомы и теоремы.

Значение “Начала”.

Имели исключительно большое значение для науки в них приведены в строгую логическую систему огромное множество геометрических фактов, составляющих основу геометрии до настоящего времени. Эта система расположения геометрических фактов без существенного изменения воспроизводится во многих учебниках элементарной геометрии. Однако, несмотря на огромное достоинство “Начал”, следует отметить в и существенные недостатки:

Начнем с определений. Определения Евклида мало отвечают современным требованиям. Формулировки этих определений используют такие понятия, которые сами д.б. определены. Например, часть, длина, ширина. Часть определений, н/п 1-е, нигде не использовались Евклидом при док-ве теорем. Они являются лишь описанием геометрических образов. Определение прямой линии не отличает ее от окружности.

Список постулатов и аксиом явно недостаточен для строгого логического обоснования геометрии. Например: такое понятие как «т. прямой лежит между двумя другими точками прямой» никаким образом не обосновывается аксиомами и постулатами Евклида. Поэтому Евклид в своих доказательствах часто ссылается на наглядность чертежей, что недопустимо при строгом логическом обосновании. Можно сказать, что рассуждения Евклида представляют собой смесь логики и интуиции.

Особое место в «Началах» Евклида занимает 5 постулат. По своей форме он очень отличается от других. Он сложно сформулирован и не нагляден, но очень важен для логического построения геометрии, т.к. на нем основана теория параллельных линий и связанные с ней разделы (подобие фигур, тригонометрия). При тщательном изучении «Н» математики заметили, что Е. сам ставит 5 постулат на особое место и не использует его для док-ва теорем, если их м. док-ть, не опираясь на 5постулат, хотя применение 5постулата могло существенно облегчить док-во такого факта.

5 постулат Евклида делит «Н» на две части: 1.совокупность предложений, не зависящих от 5п, наз. абсолютной геометрией. 2.собственно Евклидова геометрия, т.е. совокупность предложений, зависящих от 5п.

В связи с таким положением 5п многие математики пытались док-ть как теорему средствами абсолютной геометрии. Эти попытки усилились в связи с тем, что 4-й постулат оказался теоремой.

До 17 века все док-ва 5п-та обладали одним свойством, а именно математики пытались док-ть 5п, приняв за основу некоторое предложение, на их взгляд неопровержимое, а на самом деле эквивалентное 5п-ту. Так возникло много предложений эквивалентных 5п-ту. Прокл в 7в пытался док-ть, считая, что если две прямые параллельны, то расстояние между ними постоянно. Док-во: ,

, =пустое мн-во.

Если м/у прямыми расстояние постоянно, то выполняется 5п.

Фаркаш Бояйи (17в). Если три точки не лежат на одной прямой, то существует окружность, через них проходящая.В результате таких исследований получилось мн-во таких предложений эквивалентных 5п,н-р,справедлива Т.:если сумма углов =180,то выполняется 5п .

пустое мн-во, пересекает а.

, ВВ =АВ, В В =АВ , В В =АВ ,… В В =АВ . ВВ А= , В В А равноб. ВВ А= В В = . и выбираем n так,чтобы ВАВ в ВАВ прям. пересек. ВАВ пустому мн-ву, т. е. вып. 5п.

В 17-18вв появились три исследования по теории параллельных линий, которые существенно отличались от других: Ламберт, Лежандр, Саккери. Эти исследования содержали незаконченные попытки док-ва 5п-та методом от противного.

Рассмотрим расследования Саккери. Он рассматривал выпуклый четырехугольник с двумя прямыми углами и равными боковыми сторонами.

Доказал теорему:

Теорема1: В выпуклом чет-ке с двумя прямыми углами к равным боковым сторонам прилежат равные внутренние углы, а если одна сторона больше, то ей прилежит меньший угол.(AB=CD=> A= D;AB<CD=> A > D).

 

 

Четырехугольник c 2-мя прямыми углами и равн. бок. сторонами наз. четырехугольник Саккери.

Относительно этих углов м. сделать 3 предложения: 1. A= D>d гипотеза тупого угла; 2. A= D<d гип-за острого угла; 3. A= D=d гип-за прямого угла.

Считал, что 3я гип-за эквивалентна 5п-ту. Саккери пытался опровергнуть средствами абс. Геометрии первые две гип-зы, в результате были доказаны следующие теоремы:

Теорема2: Если в четырехугольнике Саккери справедлива гипотеза тупого угла, острого или прямого, то существует треугольник, сумма внутренних углов которого будет больше 1800, меньше 1800, равна 1800.

Теорема3: В абс. геометрии не существует треугольника, сумма внутренних углов которого больше 1800=>(опровергнута гип-за тупого угла).

Теорема4: Если существует треугольник, сумма внутренних углов которого равна 1800, то сумма внутренних углов любого треуг-ка такой плоскости равна 1800.

Теорема5: Если существует треуг-к, сумма углов которого меньше 1800, то в любом треуг-ке сумма внутренних углов на такой плоскости меньше 1800.

Теорема6: Если сумма углов треуг-ка равна 1800, то выполняется 5постулат Евклида.

Другие эквиваленты 5постулата: 1) Все перпендикуляры к одной стороне некоторого острого угла пересекают его другую сторону; 2) Существуют подобные, но не равные треугольники; 3)Существуют реугольники сколь угодно большой площади; 4) Аксиома параллельностив аксиоматике Гильберта: через точку вне прямой в плоскости, определяемой ими, проходит не более одной прямой, не пересекающей данную.

Значение исследований Саккери в том, что они послужили началом нового пути в изучении 5постулата. Этот путь привел к появлению неевклидовой геометрии. К созданию неевклидовой геометрии пришли почти одновременно Бояйи, Гаусс и Лобачевский(что 5п- аксиома).Днем рождения не Евклид. Геом. Явл. 23 фев.,1826.Лобачевский заменил 5п на предложение ему противоположное и стал развивать теорию опираясь на теорию абс. Геом.

В 1823г.- работа Яноша Бояйи «Аппендикс». Эта работа содержала некоторые факты новой неевклидовой геометрии, но изложение было очень кратким. Дальше свои исследования не продолжил.В 1826г. Изложил доклад «О параллельных линиях», где четко были изложены начала неевклидовой геометрии «Воображаемая геометрия»Работы Лобачевского дали толчок дляразвития аксиоматического построения геометрии.

В 1852г. Паша дал аксиоматику абсолютной геометрии (1, 2, 3 гр.).

В1899 Гильбертом была опубликована полная аксиоматика евклидовой геометрии. Завершает многовековые исследования. Будет присвоена премия Лобачевского.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: