Распределение по продолжительности учебы (равные интервалы)

 

 

На рис. 3.2.4 изображены гистограмма и кумулята по продолжительности затрат времени на учебу (интервалы равные, их де­вять). Кумулята ¾ это всегда возрастающая кривая. Пока на пунк­тирные линии не обращайте внимания.

Графическое изображение распределений в виде эмпирических кривых распределения (полигоны и кумуляты) нужны социологу в зависимости от типа шкал для разных целей. Для номинальной шкалы мы можем упорядочить (провести ранжирование) различ­ные профессиональные группы по их представительности (объему) в наших данных и соответственно выделить модальные (самые боль­шие по объему) группы. Для порядковой шкалы, кроме этого, оп­ределяется и степень единодушия студентов в оценке своей удов­летворенности учебой. Вспоминаем шкалу Терстоуна, для Построения которой посредством медианы и квартального размаха оценивалась степень единодушия экспертов. Самую важную роль играют эмпи­рические кривые распределения для метрических признаков. Но эта роль связана не с первичным анализом и не с изучением пове­дения эмпирических индикаторов, а с анализом поведения показателей/коэффициентов/ индексов.

 

 

 

При статистическом подходе к анализу распределений каждый такой показатель теоретически может иметь закон распределения с определенными параметрами и по эмпирической кривой распределения можно судить о том, каков этот закон. Знание законов дает воз­можность применения к анализу эмпирии всего богатства средств, накопленных в математической статистике. Законов очень много, и отсюда названия: нормальный закон распределения (рис. 3.2.5), лога­рифмический закон распределения (рис. 3.2.6), линейный закон распре­деления (рис. 3.2.7) и т.д. Законы вы проходили и в школе. Уравнение прямой, параболы, гиперболы интерпретируются как математичес­кие законы, связывающие две величины Х и Y. Некоторые законы нельзя записать в явном виде, т. е. в виде математической формулы.

Что касается самого факта существования закона распределения какого-то показателя, то это требует доказательства. Например, в виде проверки статистических гипотез. Эту тему относим к после­дующим этапам в вашем образовании.

Перейдем к рассмотрению характеристик, описывающих (от­сюда название дескриптивная статистика) «поведение» признака в целом, в виде некоторой эмпирической тенденции. Потому они и называются мерами центральной тенденции.

 

Мода

Наиболее часто встречающееся значение признака называется модой. Таких значений может быть и несколько. В нашем случае третья профессия является модальной. Социолог никогда не рабо­тает с одной единственной модой, а употребляет понятие «модаль­ные значения». Для нашего примера профессии 3 и 8 являются модальными. Аналогична ситуация в случае порядковых шкал. Мода равна 2 (наиболее часто встречаются студенты, степень удовлетво­ренности учебой которых равен двум). В качестве модальных зна­чений имеет смысл рассматривать все же два значения, 2 и 4, т. е. наиболее распространены две группы по степени удовлетвореннос­ти. И это несмотря на то, что по объему они различны. Однако по сравнению с другими группами они достаточно большие. Можно считать, что наличие таких модальных групп специфично, харак­терно, типично для изучаемой совокупности студентов-гуманита­риев. Это самая простая эмпирическая закономерность.

Нахождение модального значения в случае метрической шкалы невозможно по рис. 3.2.3, ибо ширина интервалов различна и это модальное значение может находиться в любом интервале. Поэто­му прежде всего возникает задача определения модального интерва­ла ¾интервала, содержащего моду. Для этого необходимо перейти от деления на интервалы, основанного на содержательных крите­риях, к делению на интервалы по формальным критериям. При этом интервалы должны иметь равную длину и их число должно зависеть от степени изменчивости признака. Чем больше степень изменчивости, тем больше нужно интервалов для определения модального. На рис. 3.2.8 приведена гистограмма, построенная для случая деления «продолжительности» на девять равных интерва­лов. Абсолютные частоты в этих интервалах были приведены выше в таблице 3.2.1. Плотность в каждом интервале пропорциональна этим абсолютным частотам. Ширина интервала равна 1. Эмпири­ческая кривая распределения в этом случае называется эмпиричес­кой функцией распределения плотности.

 

Существует математическая формула для вычисления моды, но мы приведем лишь геометрический способ нахождения моды в модальном интервале. Модальным интервалом является интервал в 7—8 часов. Значение моды вычисляется геометрически (пересе­чение пунктирных линий на рис. 3.2.8) и примерно равно 7,3 часа (см. стрелочку на том же рисунке). Является логичным, что мода должна находиться ближе к тому концу модального интервала, ко­торый примыкает к интервалу с большим числом объектов. Возни­кает вопрос, как подсчитать значение моды, если модальный ин­тервал первый или последний по счету. Тогда за моду принимается середина этих интервалов.

Модальные значения определенным образом говорят о харак­тере поведения признака и в основном о числе «горбов». Напри­мер, вспоминаем задачу ранжирования по предпочтениям различ­ных сортов пива. С какими ситуациями мы сталкивались? С достаточным единодушием (один горбик, одна мода), с двумя про­тивоположными тенденциями (два горбика, две моды) и с полным разнообразием (практически равномерное распределение ¾ моды нет). Чтобы как-то продвинуться в анализе предпочтений, мы использо­вали еще одну характеристику ¾ медиану, к рассмотрению которой и переходим.

Медиана

Эта мера центральной тенденции, или характеристика распре­деления, имеет смысл только для порядковых и метрических шкал. С медианой мы сталкивались при построении шкалы Терстоуна и опять же в процедуре ранжирования. В общем случае медиана ¾ значение признака, соответствующее середине упорядоченного ряда. Например, пусть у нас есть данные по каждой области ¾ доли голосов в %, отданных избирателями на выборах господину Икс. Тогда значение медианы, равное 15%, интерпретируется следую­щим образом. В половине областей отдано за господина Икс больше 15% голосов, а в половине ¾ меньше 15%. Не правда ли, это очень важная характеристика для интерпретации результатов выборов?

Для вычисления медианы в этом случае мы должны были упо­рядочить все области в порядке возрастания или убывания числа голосов. Если число областей нечетное, то в середине ряда ¾ одна единственная область. Медиана тогда равна числу голосов, отдан­ных господину Икс в этой области. Если число областей четное, то середину ряда составляют две области и медиана вычисляется как среднее значение по этим двум областям.

В случае нашего примера метрической шкалы ¾ продолжитель­ность затрат времени на учебу ¾ медиана может быть вычислена таким же образом. Для этого проведем упорядочение студентов по возрастанию/убыванию этих затрат и найдем середину аналогич­ным образом. Медиану можно вычислить и по кумуляте (см. шка­лу Терстроуна).

Для порядковых и метрических шкал необходимым является понятие медианного интервала, т.е. интервала содержащего медиа­ну. Как правило, вы не любите формулы, поэтому приведем вер­бальное описание формулы для вычисления медианы в медианном интервале. Это делается по двум соображениям. Первое ¾ показать, что математическая формула всегда отражает содержание. Второе ¾ математической формулой иногда пользоваться удобнее для избе­жания очень длинных описаний. Итак, медиана в медианном ин­тервале вычисляется по формуле:

 

 

Эту формулу можно записать очень просто с использованием обозначений, приведенных внизу:

Чем выше уровень измерения, тем богаче возможности описа­ния «поведения» признака. Если признак измерен по метрической шкале, то кроме моды и медианы для описания поведения призна­ка используется известная всем мера центральной тенденции ¾ сред­няя арифметическая.

Среднее арифметическое

Для любой совокупности значений признака это сумма всех значений, деленная на их число. Вернемся к примеру признака ¾ продолжительность затрат времени на учебу. Обозначим число сту­дентов-гуманитариев через n (для нашего случая n=1000), а че­рез X_i: — значение этой продолжительности для i-го студента. Тогда средняя арифметическая продолжительности будет равна:

 

Таким образом можно определить среднею продолжительность затрат времени на учебу в группах студентов с любой «будущей профессией», с любой степенью удовлетворенности учебой и т. д.

Социолог часто встречается с ситуацией, когда конкретные зна­чения признака по отдельным объектам неизвестны. Исходно име­ются только интервалы изменения признака и частота (абсолютная или относительная) встречаемости объектов в этих интервалах. На­пример, та же продолжительность может быть задана в виде интер­валов и частоты в них. Это может быть в двух случаях. Первый ¾ данные о продолжительности получены c помощью прямого воп­роса анкеты: «Сколько времени Вы в среднем в неделю тратите на занятия, связанные с учебой?». При этом предлагаются заданные заранее интервалы. По сути, мы имеем дело с порядковой шкалой. В этом случае также можно вычислить среднее значение продолжи­тельности для некоторой группы студентов. Только она называется средняя взвешенная и вычисляется несколько по-другому.

Второй случай, когда у социолога отсутствуют конкретные зна­чения по каждому объекту в ситуации вторичного анализа. Вторич­ным анализом социолог называет анализ «чужих» данных для реше­ния своих собственных, новых задач. Тогда часто приходится работать уже с вычисленными до него средними арифметическими. Например, результаты исследования бюджетов времени обычно публикуются в виде средних затрат времени с указанием объема группы, для которой они получены. В процессе вторичного анализа возникает необходимость объединения каких-то групп и, соответ­ственно, в подсчете общей средней. В этой ситуации также необхо­дима средняя взвешенная для вычисления «средней средних».

Вычислим среднюю продолжительность затрат времени на уче­бу студентами-гуманитариями по данным таблицы 3.1.3. Для этого предполагается, что продолжительность для каждого респондента, отнесенного к интервалу, равна середине интервала. Для наших шести интервалов их середины соответственно равны:

Х₁ = 0,5; X₂ = 1,75; X₃ = 3,25; X₄ = 5,5; X₅ = 7,5; X₆ = 8,5.

Нам известно число студентов в каждом интервале:

n₁ = 27; n₂ = 75; n₃ = 150; n₄ = 348; n₅ = 250; n₆ = 150.

Тогда продолжительность затрат времени на учебу в среднем на студента или средняя взвешенная продолжительность равна:

= (0,5x27+1,75х75+3,25х150+5,5х348+7,5х250Н-8,5х150)/1000=5,7

Формула для вычисления средней взвешенной выглядит для k интервалов следующим образом:

,

где X_j ¾ середина j -го интервала.

 

Аналогично вычисляется «средняя средних». Допустим, перед социологом стоит задача вычисления средней продолжительности жизни мужчин в России по данным отдельных областей. Эти дан­ные представляют собой среднюю продолжительность жизни муж­чин по каждой области. Естественно, «среднюю средних» вычис­ляем с весами, равными численности мужчин в каждой области.

Все рассмотренные характеристики: мода, медиана, средняя арифметическая, среднее взвешенное ¾ являются средними. Они характеризуют центральные тенденции одномерного распределения. Есть и другие средние, но они в социологии применяются редко. Поэтому среднюю арифметическую называют просто средней, а мода и медиана сохраняют свои названия. Без процедуры усреднения социолог-эмпирик существовать не может. Другое дело, с помо­щью каких средних он проводит эту процедуру.

Сами по себе значения «средних» мало о чем говорят, если социолог не видит эмпирическую кривую распределения, напри­мер, на экране компьютера. В ситуации «невидения» ему помогают интерпретировать любые средние так называемые меры вариации, меры рассеяния объектов вокруг этих средних. Сначала мы рассмот­рим меру вариации для случая метрической шкалы, а затем для порядковой и номинальной.

Прежде чем перейти к этой проблеме, заметим, что любая средняя характеризует центральную тенденцию распределения толь­ко тогда, когда объекты в основном сосредоточены вокруг этих средних, т.е. изучаемая совокупность объектов однородна относи­тельно признака. Однородность ¾ это очень важное понятие для всех, кто работает с эмпирией. Социолог сталкивается с проблемой однородности в разных контекстах. Как раз вот здесь пара понятий «качество ¾ количество» очень важна. Разделение понятий каче­ственная однородность и количественная однородность имеет ог­ромный смысл. Например, разве есть смысл в среднем доходе или в среднем возрасте россиянина? Конечно же, нет. И в то же время есть смысл в средней заработной плате сельских врачей или в сред­нем возрасте мужчин-пенсионеров. Необходима качественная одно­родность для того, чтобы начать анализ количественных характе­ристик распределения признака.

Сами количественные характеристики могут указывать/показы­вать на отсутствие количественной однородности по анализируемо­му признаку. Это в свою очередь будет говорить о наличии качествен­ной неоднородности.

Дисперсия

Рассмотрим меру вариации/рассеяния/разброса/изменчивости для метрической шкалы. По эмпирической кривой распределения или гистограмме на рис. 3.2.3 видим, что совокупность студентов неоднородна по продолжительности затрат времени на учебу. С одной стороны, очевидно, что средняя продолжительность учебы как ха­рактеристика имеет смысл, поскольку вполне правомерно сравне­ние средней продолжительности учебы для выделенных нами групп студентов: социологов, политологов, культурологов и т. д. С другой стороны, в ситуации неоднородности такое сравнение содержательно ни о чем не говорит.

Какова может быть мера неоднородности/однородности по продолжительности? Об этом можно судить по степени отклонения продолжительности затрат времени на учебу отдельного студента от сред­ней продолжительности, которая в нашем случае равна 5,7 (в часах). Индивидуальные отклонения ()нельзя просто суммировать, чтобы судить об общем отклонении. Отклонения в одну сторону бу­дут погашаться отклонениями в другую. Чтобы этого не было, инди­видуальные отклонения возводятся в квадрат, а затем складываются. Эта сумма делится на число респондентов, и получается характерис­тика, называемая дисперсией (s²). Это мера вариации значений признака в среднем и вокруг средней арифметической.

s²

Следует заметить, что при небольшом числе объектов делить нужно не на n, а на (n ¾1). Для социолога это не принципиально, так как он работает обычно с достаточно большим числом объектов.

Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратическим отклонением ( s ¾ сигма). По ней можно сравнивать меры рассеяния разных признаков, одного признака для различных сово­купностей. Прямое сравнение дисперсий, среднеквадратических отклонений мало что дает. Рассмотрим пример из нашего исследо­вания. Вычислим среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение продолжительности затрат времени на учебу для нескольких групп студентов. Допустим, что для социологов ( = 6, s = 4), психологов ( = 5,4, s =3,5), политологов ( = 4,5, s = 3,5), историков ( = 6, s = 2). Какие выводы можно сделать по этим данным?

Социологи и историки затрачивают на учебу в среднем одина­ковое время, но совокупность социологов менее однородна, потому что среднеквадратическое отклонение больше. Психологи затрачи­вают на учебу в среднем больше времени, чем политологи, и они более однородны, чем группа политологов. Дисперсия одинакова в этих группах, относительно разных по значению средних. Когда средние и дисперсии в сравниваемых группах различны, на помощь приходит коэффициент вариации.

Коэффициент вариации

Этот коэффициент при наших обозначениях равен

Он представляет собой долю вариации в процентах (%), приходящуюся на единицу средней. В нашем случае соответ­ственно четырем группам: V₁ = 66,7% (для социологов), V₂ = 64,8% (для психологов), V₃ = 77,8% (для политологов), V₄ = 33,3% (для историков). Таким образом, группа историков более однородна по продолжительности затрат времени на учебу, чем все осталь­ные группы. Самая неоднородная группа ¾ политологи. Это означает, что среди них оказались и очень много, и очень мало занимающиеся.

Среднее арифметическое и дисперсия интерпретируются всегда вместе. Например, существует так называемое правило «трех сигм», очень важное при работе с эмпирией. Оно означает, что если все значения признака находятся в интервале от -З s до +3 s, то счи­тается, что закон распределения признака нормальный, т. е., как минимум, эмпирическая кривая имеет унимодальный характер (одна мода, один горб). На рис. 3.2.5 изображен идеальный нормальный закон распределения. Запомните его, ибо математический аппарат для анализа нормальных распределений очень богат. Для идеально нормального распределения мода, медиана и среднее арифметичес­кое равны.

Если для анализа распределений использовать «язык» статистического анализа, то сами рассмотренные характеристики, например , являются величинами, имеющими свой собственный закон распре­деления. Представим себе, что каждый из вас для одного и того же исследования сформировал выборочную совокупность. Пусть у каждо­го будет самая из самых «хорошая» (репрезентативная) выборка. Если подсчитать, к примеру, средний возраст опрошенных по этим выбор­кам, то значения будут различны. Среднее этих значений и будет ис­тинным значением среднего возраста в генеральной совокупности. Ана­логичны рассуждения и в случае средней продолжительности затрат времени на учебу.

Отклонение средних от «истинной средней» будет носить слу­чайный характер. Оказывается, эту случайность можно оценить. На этом основан подсчет так называемых доверительных интервалов, т. е. интервалов, в которых находится истинное (для генеральной совокупности) значение признака. Но это только для тех величин (характеристик), для которых известен закон распределения. Они называются статистиками. Среднее арифметическое и является ста­тистикой с нормальным законом распределения. Для нее легко оп­ределяется доверительный интервал.

Другие меры вариации

Рассмотрим меру вариации, меру отклонения, меру рассеяния значений признака вокруг медианы. Такой мерой является квартильный размах, с которым мы встречались при построении шка­лы Л. Терстоуна. Вспомним, что содержательно это интервал, в котором вокруг медианы сосредоточилось 50% экспертов. Это един­ственная мера вариации для порядковых шкал. На рис. 3.2.4 три пунктирные линии проведены для определения медианы и соот­ветствующего ей квартильного размаха {он равен }. Без сравнительного контекста трудно сказать, мало это или много. Для социолога познавательная возможность любого математичес­кого конструкта, а это пока простейшие формулы на уровне обы­денного понимания, определяются только в сравнительном кон­тексте, т. е. при сравнении значений, полученных в разных условиях.

Перейдем к самым трудным для понимания мерам ¾ мерам качественной вариации, т. е. мерам вариации для признаков, изме­ренных по номинальным шкалам. Самое главное, что любая такая мера характеризует степень отклонения распределения признака от равномерного, т. е. когда каждой градации признака соответствует одно и то же число объектов. Максимальное значение меры обыч­но соответствует ситуации равномерного распределения, а мини­мальное ¾ ситуации, когда все объекты сосредоточены в одной гра­дации.

Как мы знаем, любой номинальный признак сводится к сово­купности бинарных, дихотомических, т. е. принимающих значе­ния 0 или 1. В этом случае столбец нашей исходной матрицы дан­ных «объект-признак», соответствующий одному признаку, превращается как бы в несколько столбцов, каждый из которых соответствует отдельному свойству (быть социологом, быть поли­тологом и т. д.). Анализировать мы должны теперь поведение «свой­ства», а не признака. По всем объектам это совокупность из нулей и единиц.

0000 1 1 1 1 1 1...00 1 1 1

Предположим, что этот ряд получен по свойству ¾ быть в буду­щем социологом. Если i-й студент ¾ социолог, то ему соответствует х_i =1, а если он не социолог, то х_i = 0. Оказывается, для такого вида данных имеет смысл среднее арифметическое. Она равна = k/n, где k ¾ число будущих социологов, a n ¾ число всех студентов-гума­нитариев.

Почему имеет смысл средняя арифметическая для дихотоми­ческой шкалы? Потому что она содержательно интерпретируется. Если = 0, то это означает, что все студенты-гуманитарии в нашей выборке не социологи. Если = l, то все студенты ¾ социологи. Если = 0,5, то половина студентов будущие социологи, а половина ¾ не социологи. Продолжая наши рассуждения, можно сде­лать вывод и для случаев,_когда 0 < < 0,5 и 0,5 < < 1. Первый из них означает, что в совокупности меньше 50% студентов социологи. Второй ¾ в сово­купности больше 50% социологов.

Таким образом, как это ни парадоксально, можно вычислять среднее арифметическое по признаку «пол». Только важно пра­вильно интерпретировать полученный результат, исходя из того, каким образом закодирован этот признак. Разумеется, социологу нет никакого смысла в использовании такого рода средней, отра­жающей «центральную тенденцию». Он прекрасно работает с от­носительными частотами в %. Приведенная средняя интересна не для целей первичного анализа, а для анализа с применением слож­ных математических методов. К примеру, для такой средней можно подсчитать дисперсию. Если для дихотомических признаков имеет смысл использование характеристик метрической шкалы, значит, возможно использование и математических методов, работающих с метрическими данными. Дисперсия в данном случае равна:

 

 

Эта дисперсия и является мерой вариации для бинарного (дихотомического) признака. При этом она равна нулю, если все объекты либо обладают, либо не обладают анализируемым свойством. Что естественно, так как вэтих случаях разброса в данных не наблюда­ется. Максимальное значение этой дисперсии достигается в случае равномерного распределения (k = n/2), и оно равно 1/4. При этом = 1/2, s= 1/2, V=100%.

Правило из школьной арифметики. Если есть два целых числа, то среднее геометрическое этих чисел всегда меньше или равно среднему арифметическому. Равенство достига­ется, когда числа равны.

Этим соотношением и воспользуемся для введения коэффици­ента качественной вариации. Вначале предположим, что номиналь­ный признак имеет только две градации, причем в первую града­цию попало N₁ объектов, а во вторую ¾ N₂ объектов {число всех объектов равно n = N₁ + N₂,). И если теперь в соотношение между средней арифметической и средней геометрической подставить

Максимальное значение N, • N₂ будет только в случае N₁ = N₂, и оно будет равно _п² / 4. А это ведь случай равномерного распре­деления. Коэффициентом качественной вариации и будет отноше­ние реального значения произведения (N, • N₂) к максимальному его значению, равному п² / 4.

Коэффициент равен нулю, если все объекты в одной градации, и единице, если распределение равномерное. Коэффициент легко обобщается на случай, когда число градаций равно k. Представим себе, что из всей совокупности объектов мы образовали всевозмож­ные пары. Вспомним метод парных сравнений Терстоуна и вычис­ление числа всевозможных пар для сравнения объектов. Здесь ситу­ация аналогичная. Пары не повторяются, объект сам с собой пару не образует. В случае двух градаций произведение (N₁ • N₂) есть не что иное, как число пар, различных между собой.

Если градаций три и по ним частоты равны (N₁, N₂, N₃), то число различных пар будет равно (N₁×N₂ + N₁×N₃ + N₂×N₃). Число членов в этой сумме вычисляется как число парных сочетаний из трех элементов по два. Вспоминаем, что это число равно k(k-l)/2, когда число элементов равно k.

Тогда коэффициент вариации вычисляется как отношение:

реального числа различных пар, равного (N₁×N₂ + N₁×N₃ + N₂×N₃);

к максимальному (случай равномерного распределения), равному {(n² / 9)(3 • 2 / 2)}. В первых круглых скобках ¾ то, во что превращается каждый член суммы, а во вторых ¾ число членов в этой сумме.

В общем случае для k градаций реальное число пар равно

. Таким образом, формула для вычисления коэффициента качественной вариации приведена по частям, т. е. отдельно числитель (реаль­ное) и отдельно знаменатель (максимальное).

Коэффициентом вариации (R) может служить и величина, рав­ная среднему геометрическому из относительных частот в долях (ча­стости) умноженному на число градаций, т. е.

 

 

Для вычисления этой величины необходимо избавиться от пус­тых градаций, иначе она обратится в нуль. R=l при равномерном распределении.

Приведем еще один пример вычисления меры качественной вариации. В качестве такой меры служит энтропия, о которой мы упоминали в контексте «языка» анализа распределений, опираю­щегося на информационный подход. Энтропия ¾ это основное по­нятие так называемой теории информации. Распределение призна­ка интерпретируется как некое сообщение, несущее определенный объем информации. Этот объем можно оценить энтропией как ме­рой «определенности»/«неопределенности». Ее трудно объяснить и трудно понять без знания логарифмов и логарифмических законов распределения. Более того, замечательные свойства этой меры мо­гут быть оценены только при многомерном анализе. Пока вам при­дется просто этому поверить. Итак, энтропия Н(х) при числе града­ций равном k и при обозначении i-й частости (доли) через р_; равна:

Логарифм может быть взят по любому основанию, ибо нетруд­но перейти от одного основания к другому. Напомним, что есть натуральный логарифм (по основанию «е»), десятичный (по осно­ванию «10»), двоичный (по основанию «2»).

Энтропия ¾ положительная величина, несмотря на то, что перед суммой стоит минус. Он погашается другим минусом, появляю­щимся за счет того, что логарифм берется от правильной дроби (это вам известно из школьной математики). Значение энтропии равно нулю, если все объекты сосредоточены в одной градации (но чтобы это показать, нужны знания о «пределах» ¾ lim). В самом деле, тогда мера неопределенности минимальная. Энтропия равна log k, если распределение равномерное, т. е. в этом случае максимальная неопределенность. Чтобы значение меры не зависело от числа гра­даций, можно использовать в качестве меры качественной вариа­ции нормированную величину энтропии.

Термин нормировка будет дальше встречаться часто. Это про­цедура преобразования некоторой величины в необходимый для исследователя вид. Она нужна для того, чтобы какие-то показате­ли/коэффициенты/ индексы изменялись либо от 0 до 1, либо от -1 до +1. Тогда делается возможным сравнение их значений, получен­ных при разных условиях, например, для различных совокупностей объектов.

На практике пользуются в сравнительном контексте только од­ной мерой качественной вариации, ибо каждая мера отражает свое собственное понимание вариации. Потому значения, полученные по разным мерам, не имеет смысла сравнивать.