Решение типовых показательных неравенств.

Содержание и рекомендации

Приводимые выше показательные неравенства взяты из книги “ЕГЭ по математике. Практическая подготовка к заданию С3” /М.:ИЛЕКСА, 2014; автор: Волков Д. А./.

Показательные неравенства разбиваются на типы: неравенства, решаемые одним методом, находятся в одном номере, а разными методами – в разных номерах.

Методы решения для показательных неравенств каждого типа приведены в выше упомянутой книге. Но они также приводятся ниже.

Данные неравенства можно использовать как при прохождении соответствующей темы школьной программы, так и для подготовки к ЕГЭ (вторая часть).

Ещё данные показательные неравенства можно превратить в уравнения (заменяя знак неравенства знаком равенства). И использовать для прохождения темы “Решение показательных уравнений”.

Уникальность данной подборки заданий состоит в том, что она включает все типы неравенств, которые теоретически могут встретиться, а также к которым могут быть сведены сложные показательные неравенства.

Рекомендуется в каждом упражнении решать лишь некоторые неравенства. До усвоения применяемого метода.

Решение типовых показательных неравенств.

Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называют показательным. Иначе говоря, в показательных неравенствах присутствуют выражения вида , где а – некоторое число (, ), а f (x) – заданная функция.

Выше приведены так называемые типовые показательные неравенства. Типовыми данные неравенства называются в связи с тем, что их решение подчиняется четкому алгоритму. Но сначала давайте научимся решать показательные неравенства наиболее простых конструкций, то есть, простейшие.

Прежде всего, заметим, что показательное неравенство

(1)

при равносильно неравенству

, (2)

а при равносильно неравенству

. (3)

В более общем виде это же можно сформулировать так: для решения показательных неравенств вида

, , ,

нужно отбросить основания степени и перейти к равносильному неравенству [с показателями f (x) и g (x)] этого же знака при и неравенству противоположного знака при .

Пример. Решим следующие неравенства:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Так как основание 5 > 1, то исходное неравенство равносильно следующему:

.

Продолжая равносильные преобразования, получим

.

б) Представим неравенство в виде

.

Так как основание , то последнее неравенство равносильно следующему:

.

Продолжая равносильные преобразования, получим

.

в) Чтобы привести неравенство к стандартному виду, нужно представить число 5 в виде степени с основанием 2. Но на этот раз для этой степени нельзя подобрать “нормальный” показатель и придется представить число в виде степени с логарифмическим показателем, воспользовавшись формулой

.

Учитывая это, исходное неравенство принимает вид

.

Так как основание 2 > 1, то можно перейти к равносильному неравенству

.

Доведем решение до конца:

.

Ответ: а) ; б) ; в) .

В заключении отметим, что поскольку выражение a^x положительно при любом значении x, то множество решений неравенств вида

, , и т. п.

есть x – любое число, а множество решений неравенств вида

, и т. п.

является пустым (то есть, данные неравенства не имеют решений).

Здесь мы получили ответ, исходя из идеи учета области значения входящих в неравенство выражений. Применять данную идею можно, в частности, тогда, когда идея обычных преобразований неравенства в ему равносильное не проходит.

Давайте подведем предварительные итоги.

Простейшие показательные неравенства бывают двух видов:

, , ,

или

, , , .

В последнем случае с – некоторое неположительное число, то есть, .

Идея решения неравенств 1-го вида заключается в отбрасывании оснований степени и переходу к равносильному неравенству с показателями, то есть, функциями f (x) и g (x).

Идея решения неравенств 2-го вида состоит в учете области значения выражения , а именно, его положительности.

Очевидно, для решения любого показательного неравенства, его нужно свести к одному из простейших видов.

Познакомимся со спецификой неравенств каждого номера.

№ 1

Специфика заданий: показательное неравенство сводится к линейному.

Разберем для примера решение неравенства из № 1(о):

…

Ответ:

№ 2

Специфика заданий: показательное неравенство сводится к квадратному.

Разберем для примера решение неравенства из № 2(д):

…

Ответ: .

№ 3

Специфика заданий: показательное неравенство сводится к дробно-рациональному. Как правило, дробно-рациональные неравенства решаются с помощью метода интервалов.

Разберем для примера решение неравенства из № 3(е):

(последнее неравенство решаем графическим методом).

Ответ: .

Здесь мы воспользовались тем, что, так как выражение при любом значении x, то обе части неравенства

можно умножить на это выражение, сохранив при этом знака неравенства.

№ 4

Специфика заданий: показательное неравенство приводится к своему обычному виду (как в №№ 1 и 2) после вынесения степенного множителя за скобку.

Разберем для примера решение неравенства из № 4(л): .

С учетом того, что

,

выполним следующие равносильные преобразования:

.

Ответ: [1; + ∞).

Обратите внимание, что в примерах этого типа за скобку будет выноситься степенной множитель с наименьшим показателем. Соответственно, остальные степенные выражения должны быть через него предварительно выражены.

Например, в № 4(м) за скобку надо вынести множитель , а остальные степени , и через него выразить:

, и т. д.

Заметим также, что показательные неравенства из № 4 можно решать и путем замены переменной: обозначить буквой выносимый за скобку множитель. Тогда показательное неравенство сводится к линейному.

Упомянутый пример из № 4(л) в этом случае решается так:

Пусть , тогда и исходное неравенство приобретает вид

.

Выполняя равносильные преобразования, получаем

.

Теперь, возвращаясь к прежней переменной, получим

.

№ 5

Специфика заданий: показательное неравенство путем замены переменной сводится к квадратному.

Обратим особое внимание на то, что неравенства этого типа в отличие от ранее рассмотренных (из № 4) уже обязательно решаются методом замены переменной (или путем восприятия определенного выражения как переменной).

Суть этого метода состоит в том, что некоторое выражение с переменной обозначается новой буквой таким образом, чтобы исходное неравенство можно было преобразовать к более простому виду, причем содержащему только эту новую букву. Затем находится множество решений полученного таким образом нового неравенства, а потом и множество решений исходного неравенства.

Разберем для примера решение неравенства из № 5(ж): .

Заметим, что если ввести замену

,

то выражение тоже можно выразить через новую букву (переменную t).

Действительно,

.

Поэтому

.

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в более простом виде:

.

Множество решений последнего неравенства:

.

Теперь возникает вопрос: как получить ответ для прежней переменной?

По полученному ответу нетрудно догадаться, что значение переменной t удовлетворяет одному из неравенств:

t < – 0,6 или t > 1.

Но это означает, что значение переменной х также удовлетворяет одному из неравенств:

или .

Запишем под каждым из этих неравенств его решение:

или

нет решений,

так как . x > 2.

Ответ: x > 2.

Принято говорить, что мы решали совокупность неравенств и , то есть, находили значения х, удовлетворяющие хотя бы одному из этих неравенств.

№ 6

Специфика заданий: показательное неравенство путем замены переменной сводится к дробно-рациональному, которое сразу же можно свести к квадратному.

Разберем для примера решение неравенства из № 6(а):

.

Далее вводя замену переменной 3 ^x = t, получаем неравенство

,

обе части которого можно умножить на t, поскольку новая переменная, как и заменяемое ею выражение 3 ^x, принимает только положительные значения.

Итак, последнее неравенство после умножение его обеих частей на t преобразуется в квадратное

t ² + 27 ≥ 12 t,

множество решений которого есть

.

От числовых промежутков перейдем к совокупности неравенств

t ≤ 3 или t ≥ 9.

Возвращаясь к прежней переменной, получаем совокупность неравенств

3 ^x ≤ 3 или 3 ^x ≥ 9.

Решим эту совокупность:

3 ^x ≤ 3 или 3 ^x ≥ 9

3 ^x ≤ 3¹ 3 ^x ≥ 3²

x ≤ 1 x ≥ 2

Ответ: x ≤ 1, x ≥ 2.

№ 7

Специфика заданий: показательное неравенство путем замены переменной сводится к дробно-рациональному, которое можно решить методом интервалов.

Разберем для примера решение неравенства из № 7(г):

.

Путем замены переменной 5 ^x = t преобразуем данное неравенство к виду

и, решая методом интервалов, находим

5 < t < 25.

После возвращения к прежней переменной, получаем

5 < 5 ^x < 25 5¹ < 5 ^x < 5² 1 < x < 2.

№ 8

Специфика заданий: показательное неравенство путем однотипных преобразований сводится к уже ранее известному.

Разберем для примера решение неравенства из № 8(б):

.

После деления обеих частей последнего неравенства на положительное выражение 4 ^x получим

;

последнее же неравенство может быть сведено к квадратному путем замены .

Доделайте задание самостоятельно.

Ответ: .

Разберем ещё решение неравенства из № 8(з):

;

поделив числитель и знаменатель дроби в последнем неравенстве на 2 ^x, получаем равносильное неравенство

,

которое сводится к дробно-рациональному путем замены переменных .

Доделайте задание самостоятельно.

Ответ: .