Типовые расчетные задания по курсу «Введение в теорию вероятностей и математическую статистику», выносимые на экзамен.

Во всех заданиях через N обозначен номер варианта, квадратными скобками «[ ]» обозначена целая часть числа.

Задача 1. В урне имеется k = белых и l = черных шаров. Наугад вынимаем 3 шара. Найти вероятность того, что а) вынут 1 белый 2 черных шара (если N - четно), б) все три вынутых шара одинакового цвета (если N - нечетно).

Задача 2. В круг диаметром N +2 см брошена точка. Считаем, что попадание в любую точку круга равновероятно. Какова вероятность, того, что расстояние от брошенной точки до края круга не превышает 1 см.

Задача 3. На отрезке [0;1] случайным образом выбраны 2 точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше см?

Задача 4. Два стрелка стреляют по мишени. Один из них поражает мишень с вероятностью , а другой - с вероятностью p₂=0,5+0,1k (где k - остаток от деления N на 5) Стрелки сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что 1) мишень поражена хотя бы одним стрелком; 2) мишень поражена ровно одним стрелком?

Задача 5. Имеется N +50 лотерейных билетов, среди которых 5 выигрышных. Берем наугад 3 билета. Найти вероятность того, что 1) все три билета окажутся выигрышными; 2) хотя бы один билет из 3 окажется выигрышным.

Задача 6. В одной урне k = белых и l = черных шаров, в другой l белых и k черных шаров. Из первой урны во вторую переложили M шаров (M=3 при четном N и M=2 при нечетном N), затем из второй урны вынули один шар. 1) Найти вероятность того, что шар, вынутый из второй урны - белый. 2) Оценить, сколько белых и сколько черных шаров из M было переложено из первой урны во вторую, если известно, что шар, вынутый из второй урны - белый.

Задача 7. Проводится серия из испытаний, каждое из которых состоит в подбрасывании двух игральных костей. 1) Найти вероятность того, что k+1 раз (где k - остаток от деления N на 3) выпадут одинаковые цифры на обеих костях. 2) Найти наиболее вероятное число тех испытаний, в которых на обеих костях выпадут одинаковые цифры.

Задача 8. Проводится серия из 1000+10N испытаний, каждое из которых состоит в подбрасывании двух игральных костей. 1) Найти вероятность того, что 160+N раз выпадут одинаковые цифры на обеих костях. 2) Найти вероятность того, что одинаковые цифры выпадут не менее 150+N и не более 180+N раз. 3) Каково наиболее вероятное число тех испытаний, в которых на обеих костях выпадут одинаковые цифры.

Задача 9. АТС обслуживает 10000 номеров. Вероятность сбоя за данный промежуток времени равна для каждого из номеров. Найти вероятность того, что за данный промежуток времени 1) откажет ровно k+1 номер (где k - остаток от деления N на 5), 2) откажет не более k+1 номеров.

Задача 10. В урне имеется k = белых и l = черных шаров. Вынимаем наугад M шаров (М=2 при N - нечетных и М=3 при N - четных). Пусть x - количество белых шаров среди вынутых шаров. Составить ряд распределения случайной величины x, найти функцию распределения F_x (x) и построить ее график, найти M_x, D_x, s_x.

Задача 11. Известна плотность вероятности непрерывной случайной величины:

Найти k, F_x(x), построить графики и F_x(x), найти M_x, D_x, s_x и вероятность того что x .

Задача 12. Автобус ходит строго по расписанию с интервалом N+2 минут. Некто пришел на остановку в случайный момент времени. Пусть x - случайная величина, равная времени ожидания ближайшего автобуса. Найти и F_x(x), построить их графики, найти M_x, D_x, s_x и вероятность того, что x< минут.

Задача 13. В урне белых, черных и (m+1) (где m - остаток от деления N на 5) синих шаров. Наугад вынимаем 2 шара. Пусть x- количество белых, h- количество черных шаров среди двух вынутых. Составить матрицу распределения вектора (x; h) и ряд распределения каждой из величин x, h. Выяснить, являются ли x и h независимыми. Найти матожидание и дисперсию каждой из величин x, h; найти r(x, h) и составить уравнение линейной регрессии h на x.

Задача 14. Проведена серия из 20 измерений некой величины. Получена выборка: 100; 98+0.2N; 100.7; 99.7; 100.1-0.1N;98.9;100.8-0.1[N/2]; 98.6+0.1[N/2]; 101; 99.3; 102-0.2N; 100.8; 100.1; 99.6+0.1N; 101-0.1N; 101.5; 101.6-0.1N; 100.3; 99.6; 100+0.1N; Составить статистический ряд, найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию.

Задача 15. Исследуется время безотказной работы некого прибора, распределенное по экспоненциальному закону с неизвестным параметром l. Проведена серия из 1000 испытаний, получена следующая выборка:

Методом моментов оценить параметр l.

Задача 16. Исследуется количество вызовов, поступивших на АТС за 1 секунду, распределенное по пуассоновскому закону с неизвестным параметром l. Проведена серия из 1000 испытаний, получена следующая выборка:

Методом максимального правдоподобия оценить параметр l.

Задача 17. Исследуемая случайная величина имеет нормальный закон распределения. Оценить с надежностью 0.99 неизвестное математическое ожидание.

Задача 18. Проверить с помощью критерия c² гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона, при уровне значимости a=0.01: