Определение производной.
Предел отношения приращения функции 
к вызвавшему его приращению аргумента 
при 
называется производной от функции 
в точке 
.
- обозначение Лейбница, 
- обозначение Лагранжа.
Понятие бесконечной производной
Если в точке предел 
, то
говорят, что функция 
имеет в этой точке бесконечную производную.
Здесь бесконечный предел понимается как один из символов 
или 
.
Определение односторонних производных.
Пределы (конечные или бесконечные) 
, 
называются соответственно левой и правой производными функции в точке .
Имеет место
Теорема.
Для того чтобы функция имела в точке производную 
, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке как левую, так и правую производные, и чтобы эти производные были равны: 
.
Пример 1. Исходя из определения производной, найдем производные ряда элементарных функций:
1) 
; 2) 
, 
3) 
4) 
5) 
1) Пусть 
, где 
– любое действительное число. Придадим любой точке 
из 
приращение 
. Новое значение будет 
, а для приращения 
получим:
,
так что 
. Если воспользоваться значением предела 
, то для производной данной функции имеем значение:
.
Для частного случая 
найдём производную в точке 
: 
.
Видим, что предел этого отношения при будет равен . Если же 
, то 
, и в точке производная слева будет равна , а справа .
2) Рассмотрим показательную функцию 
. Составим отношение:
.
Так как 
, то 
. Если 
, то приходим к формуле:
.
3) Найдем производную логарифмической функции
.
Для отношения приращения функции к приращению аргумента будем иметь:
.
Используя значение предела 
, находим
,
при
.
4) Рассмотрим 
.
.
В силу первого замечательного предела 
находим, что производная функции 
равна 
.
5) Для функции 
получим:
, откуда переходя к пределу при и вновь учитывая первый замечательный предел, имеем:
.
Пример 2. Исходя из определения производной, покажем, что производная чётной функции есть функция нечётная и наоборот. Пусть 
. Возьмем 
и составим предел отношения:
.
В данном равенстве заменим 
на 
:
При этом мы воспользовались чётностью функции . Тогда 
. Совершенно аналогично показывается, что производная нечётной функции 
есть функция чётная. Действительно,
В приведённых примерах для отыскания производной мы пользовались лишь определением. Однако нерационально и практически невозможно находить производную по определению в сложных случаях. Сформулируем основные правила, позволяющие вычислить производную суммы, разности, произведения, частного функций, а также производную суперпозиции функций.
Теорема (правила вычисления производных).
Пусть функции 
и 
имеют в точке конечную производную, причем 
. Тогда:
1) 
, где 
- любые постоянные;
2) 
;
3) 
.
Эти правила распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей.
В частности, если 
, то
.
В общем виде, если 
, то
.
Теорема о дифференцировании сложной функции.
Пусть функция 
имеет производную 
, а функция 
имеет производную 
в точках . Тогда производная сложной функции 
находится по формуле
, 
.
Определение дифференцируемости функции.
Функция 
называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке представимо в виде:
,
где 
, а 
при .
Очевидно, что второе слагаемое в этом равенстве может быть записано в виде: 
.
Имеет место следующая теорема: