Определение.
Пусть функция 
определена всюду в некоторой окрестности точки 
. Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если найдётся такая окрестность точки , в пределах которой значение 
является наибольшим (наименьшим) среди всех других значений этой функции: 
.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.
Из определения следует, что функция задана по обе стороны от точки .
Пусть функция 
в интервале 
имеет конечную производную. Если в точке x 0 функция имеет экстремум, то применяя к интервалу 
теорему Ферма, имеем 
. Это и будет необходимым условием экстремума, и отыскивать его нужно только в тех точках, где производная обращается в нуль; такие точки называются стационарными. Однако не во всякой стационарной точке функция достигает экстремума, и условие есть необходимое, но не является достаточным. Если 
, n – целое, то ее производная 
обращается в нуль при 
, но в данной точке функция экстремума не имеет: она возрастает в окрестности этой точки.
Если отказаться от требований существования двусторонней производной, то класс функций , для которых имеет место экстремум, можно существенно расширить. Для функции 
минимум достигается при , в то время как производная 
стремится к 
, когда 
. Аналогично, для функции 
: она достигает минимума при , хотя двусторонняя производная не существует.
Поэтому к точкам, подозрительным на экстремум, будем относить стационарные точки, в которых производная обращается в нуль, и точки, в которых двусторонняя производная не существует.
Теорема 1 о достаточных условиях экстремума.
Пусть функция дифференцируема на 
кроме, может быть, точки , в которой, однако, непрерывна. Если производная 
меняет знак при переходе через точку , то данная точка является точкой строгого экстремума. При этом если при 
, а при 
, то в точке реализуется максимум, если при , а при , то функция имеет в точке минимум. Если же в пределах указанной окрестности производная не меняет знака, то в точке экстремума нет.
При исследовании функции на экстремум можно использовать не только смену знака 
в окрестности стационарной точки x 0, но и значение 
, если оно существует. Пусть в точке x 0 имеет производную . Если 
, то в окрестности точки x 0 производная возрастает, иначе говоря, она меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке достигается минимум. Если же 
, то в окрестности точки x 0 убывает, меняя знак с плюса на минус – максимум.
Теорема 2 о достаточных условиях экстремума.
Пусть функция имеет в точке производные до порядка 
включительно. Тогда, если
,
то при чётном функция имеет в точке строгий экстремум, а именно: максимум при 
и минимум при 
. Если же 
, то экстремума в точке нет.
Например, для функций 
и 
последовательно находим
В первом случае экстремума нет, во втором 
достигает минимума: 
.
Пусть функция определена и непрерывна в промежутке 
. В прикладных задачах часто требуется указать наибольшее или наименьшее значения в этом промежутке, ведь согласно 2-й теореме Вейерштрасса они существуют. Если, например, наибольшее значение достигается во внутренней точке, то оно будет одним из максимумов (наибольшим). Но наибольшее значение может достигаться и на одном из концов промежутка. Необходимо сравнить между собой все максимумы (если их несколько) и граничные значения 
и 
, наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции в .
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию: 
, 
.
Найдем производную: 
,
Производная обращается в нуль при . По теореме 1 легко установить, что в точке реализуется максимум, если 
(в этом случае 
при переходе через точку меняет знак с плюса на минус), если же 
экстремума нет, ибо 
в окрестности критической точки.
Пример 2. Исследовать на экстремум в точке функцию 
, где , а функция 
непрерывна при 
и 
.
Воспользуемся определением и исследуем знак приращения функции в точке : 
.
Очевидно, что наличие или отсутствие экстремума будет определяться чётностью или нечётностью натурального числа , так как по непрерывности существует такая окрестность точки , в пределах которой 
имеет тот же знак, что и 
. Если , то в указанной окрестности 
имеет тот же знак, что и : 
, если 
- в точке минимум; 
, если 
- в точке максимум. Если же , то экстремума нет, так как значение не является ни наименьшим, ни наибольшим в окрестности рассматриваемой точки. Отметим, что воспользоваться теоремой 1 здесь нельзя, ибо условия задачи не позволяют найти производную функции , а значит и .
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию 
В точке проведём исследование по определению:
для любого 
, следовательно, это точка минимума функции: 
.
Для значений 
, отличных от нуля, вычислим производную:
. Производная обращается в нуль в точках, где 
. Однако, так как 
, то при переходе через указанные точки производная знака не меняет. Следовательно, единственной точкой экстремума данной функции является точка 
.
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
на отрезке 
.
Исследуем функцию на экстремум. Для этого решим уравнение
, 
, 
. Отрезку принадлежат две стационарных точки: 
и 
. Для проверки достаточных условий воспользуемся теоремой 2: 
. В точке имеем максимум, так как 
, 
, а в точке экстремума нет, ибо 
а 
. В граничных точках промежутка функция принимает значения: и 
. Сравнивая эти значения со значением в точке экстремума, приходим к выводу, что наименьшее значение на указанном отрезке функция принимает в точке 
, а наибольшее – в точке : 
, 
.
Пример 5. Доказать неравенство: 
.
Рассмотрим функцию: 
на интервале 
. Исследуем её на экстремум. Производная 
на рассматриваемом промежутке, поэтому функция возрастает и для 
имеет место неравенство: 
, но , следовательно, 
.
Задачи, приводящие к исследованию на экстремум, имеют большое теоретическое и прикладное значение. Требование, чтобы некоторая величина принимала экстремальное значение, приводит к формулировкам законов естествознания.
Пример 6. В оптике принцип Ферма, состоящий в том, что луч света распространяется по траектории, требующей минимум времени, приводит к двум законам геометрической оптики.
Пусть луч, скорость которого V, падает из точки A и, отразившись от оси Ox в точке с координатой 
, приходит в точку B. Длина ломаной 
будет равна 
. Тогда время прихода луча в точку B определится формулой
.
Найдем точку 
экстремума функции 
, так как время, затраченное лучом на прохождение ломаной ACB должно быть минимальным:
,
откуда 
, или угол падения луча равен углу отражения.
Пусть ось Ox есть граница двух сред, в которых скорость распространения света, соответственно V 1 и V 2. Тогда длина пути в первой среде 
, во второй 
. Время прохождения всего пути ACB будет равно
.
Требование минимальности этого времени дает
или
.
Это известный закон преломления света.