вечернее отделение 2011-2012 гг.

Вопросы к экзамену

По дисциплине «Эконометрика»

вечернее отделение 2011-2012 гг.

1. Определение эконометрики. Основные задачи эконометрики.

Эконометрика – наука о применении статистических и математических методов в экон анализе для проверки правильности экон моделей и способов решения экон проблем. В эконометрике модель относица к классу матем моделей, те приближенное описание объекта (фирма, орг) на язык матем (алгебраические соотношения, неравенства, дифференциальные уравнения, логические соотношения). Прим: у=3+2х – эконометрическая модель, где у-спрос, х-цена; парная линейная регрессия, те регрессионная модель. Эконометрические методы базируюца на анализе связей между различными экон показателями (факторами) на осн статистических данных с использованием аппарата теории вероятности и математической статистики.

Осн задачи эконометрики:

1. Построение модели, то есть представление в матем форме – проблема спецификации (выбрать вид)

2. Оценка параметров построенной модели (а и в) – этап параметризации

3. Проверка качества найденных параметров модели и самой модели в целом – этап верификации (t-критерий Стьюдента и f-критерий Фишера)

4. Использование проверенной модели для объяснения, прогнозирования и предсказания поведения исследуемых экон показателей.

2. Основные виды эконометрических моделей:

1. Регрессионные модели

На практике приходица решать проблемы, кот заключаеца в установлении вида и количественно оценки связей и независимых (объясняющих экзогенные – задаваемые извне х) переменных на зависимую (объясняемую эндогенную – задаваемую изнутри у)

2. Временные ряды

ВР – последовательность упорядоченных во времени наблюдений величины, кот характеризует экон показатель.

3. Системы одновременных уравнений

При моделировании экон систем (моделей функционирования фирмы) матем модель может содержать систему уравнений, описывающих динамику системы и дополненных статистическими балансовыми соотношениями.

3. Этапы построения эконометрической модели.

1) Определение цели исследования, качественный анализ и изучение экон объекта

2) Анализ и оценка эмпирических данных (исходных)

3) Построение матем модели

4) Количественная оценка параметров модели

5) Формальный анализ матем модели

Этапы:

1. постановочный (формулируется цель исследования, отбор переменных, входящих в

будущую модель. Цель – анализ исследуемого экон явл, прогноз поведения экон

переменных, имитация развития объекта при различных значениях экзогенных

переменных, выработка управл решений. Экзоген переменные – задаются извне (Х),

эндоген переменные – задаются внутри (У).

2. априорный (анализ информации известной до начала моделирования),

3. параметризация (выбор вида функции: линейная, степенная, логарифмическая.),

4. информационный (сбор стат данных, выбор программного средства: MS EXCEL, STATISTIKA, GPSS, EVIEWS),

5. идентификация модели (находятся значения коэф, входящих в модель: а0, а1.),

6. верификация модели (сопоставления реальных и модельных данных, проверка

истинности и адекватности модели).

4. Роль эконометрического моделирования в изучении социально-экономических процессов.

5. Уравнение регрессии, его смысл и назначение.

Регрессия – форма связи, выражаеца моделью уравнения.

Регрессия бывает парная и множественная. Парная регрессия – аналитическое выражение связи 2х признаков (результативного и факторного). У=f(x), где у – зависимая переменная (результативный), а х – независимая, объясняющая (фактор). В ур регрессии функциональная связь выражаеца матем формулой: y_j=ŷx_i+Ɛ_j, где y_j - фактическое значение результативного признака; ŷx_i – теоретическое значение результативного признака; Ɛ_j – случайная величина, характеризующая отклонение реал значения результативного признака от теоретического.

Виды связей:

· Функциональная – связь, при кот опр значение фактора соответствует только одно значение результативного признака

· Стахостическая – связь, кот проявл не в каждом отдельном, а в общем, среднем или большем числе наблюдений

· Корреляционная – частный случай стахостической, при кот изменения среднего значения результативного признака обусловлено изменение факторов.

Также по аналитическому выражению выделяют:

· Линейная – статистическая связь между явлениями, кот приближенна выражена уравнением прямой линии

· Нелинейная – статистическая связь между соц-экон явл, кот выражаеца уравнением какой-либо кривой линии (парабола, гипербола и тд)

Также по направлению связи деляца на прямую и обратную.

6. Выбор типа математической функции при построении уравнения регрессии.

Определить тип уравнение можно исследуя зависимость графически, однако сущ более общие указания, позволяющие выявить уравнение связей не прибегая к графическому изображению. Если результирующий признак у и фактор х возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то следовательно связь между ними линейная, а при обратной связи – гиперболическая. Если х растет в арифметической прогрессии, а у быстрее, то используеца параболическая или степенная регрессия.

7. Метод наименьших квадратов (МНК), условия его применения.

Для нахождения неизвестных параметров уравнения используеца МНК.

Суть: Неизвестные параметры а и в выбираюца таким образом, чтоб сумма квадратов отклонений эмпирических значений у от значений, найденных по уравнения регрессии, должна быть минимальной.

S(a,b)=сумма(ŷ-y)^2=сумма(a+bx-y)^2->min

Применение МНК:

На основание необходимого условия существования экстремум функции 2х переменных S(a,b) – необходимо ее частные производные прировнять к 0. Далее разделив обе части уравнений на n, получим систему норм уравнений в виде:

А+в*хср=уср

А*хср+в*хср^2=хср*у

Условия применения МНК:

· Случайный член регрессии (возмущение) в каждом наблюдении имеет нулевое мат ожидание, те М(Ɛ_i)=0 (нет систематических ошибок), для любого i=1…n

· Дисперсия возмущения не зависит от номера наблюдения. Это условие гомоскедастичности модели

· Возмущения в разных наблюдениях не зависят друг от друга, те нет связи (случайные члены должны быть абсолютно независимыми друг от друга)

· Возмущение и независимая переменная х в этом наблюдении независимы друг от друга

Для того, чтобы регрессионный анализ осн на обычном методе МНК давал наилучший из всех возможных результатов должны выполняца все 4 условия теоремы Гауса-Маркова.

8. Оценка параметров уравнения регрессии по МНК.

Из системы нормальных уравнений

А+в*хср=уср

А*хср+в*хср^2=хср*у

получаем формулу для параметра а:

A=уср-вхср

Ŷ=уср-вхср+вх

Ŷ-уср=в(х-хср)

Также из системы норм уравнения находим коэфф в:

В=(хср*у-хср*уср)/(хср^2-х^2ср)

n-объем исследуемой совокупности

а-усреднение влияния на результативный признак факторов, не включаемых в модель

в-коэф регрессии, кот показывает на сколько изменяеца в целом значение результативного признака при увеличении фактического.

Если задействовать Excel, то выводяца нижние и верхние интервальные ошибки, среднеквадратические ошибки, оценка самих параметров непосредственно и тд.

Также существует коэф эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится значение у при изменении х на 1%: Э=b*(xср/yср)

9. Понятие корреляции.

Корреляция – частота связей, выражаеца числом. Далее Википедия.

Корреля́ция (корреляционная зависимость) — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин. При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений других. Математической мерой корреляции двух случайных величин служат корреляционное отношение и коэффициент корреляции R (или r).

Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными (возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин). Отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции отрицателен; положительная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции положителен.

Параметрические показатели корреляции:

1)Ковариация - совместный центральным момент второго порядка. Ковариация определяется как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин:

Covxy=M[(x-M(x))(Y-M(Y))]=M(xy)-M(x)M(y),

где М — математическое ожидание.

2)Линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

rxy=covxy/σxσy

где σx и σy – стандартные отклонения в сопоставляемых рядах.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы.

Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, с помощью которого измеряется теснота связи между двумя или более переменными. Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом (также часто встречается термин «корреляционно-регрессионный анализ», который является более общим статистическим понятием), с его помощью определяют необходимость включения тех или иных факторов в уравнение множественной регрессии, а также оценивают полученное уравнение регрессии на соответствие выявленным связям (используя коэффициент детерминации).

10. Показатели корреляции: линейный коэффициент корреляции, индекс корреляции, теоретическое корреляционное отношение.

Наиболее распространенный коэффициент корреляции. Предназначен для расчета силы и направления линейной зависимости между переменными исследования.

Коэффициент линейной корреляции отражает меру линейной зависимости между двумя переменными. Коэффициент корреляции будет положительным числом, когда при повышении Xпроисходит повышение Y (прямопропорциональная связь), отрицательным при обратнопропорциональной связи.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы и рассчитывается по формуле:

rxy=covxy/σxσy

где σx и σy – стандартные отклонения в сопоставляемых рядах.

Индекс корреляции используется для выявления тесноты связи между переменными в случае нелинейной зависимости.

Он показывает тесноту связи между фактором x и зависимой переменной y:

Iyx=корень из(1-(сумма еi^2/сумма(yi-yср)^2))

где ei = yi - ŷi - величина ошибки, т.е. отклонение фактических значений зависимой переменной от рассчитанных по уравнению регрессии.

Индекс корреляции есть неотрицательная величина, не превосходящая 1: 0 ≤ Iyx ≤ 1.

Связь тем сильнее, чем ближе Iyx к единице.

В случае линейной зависимости Iyx = | ryx |. Расхождение между Iyx и ryx мб использовано для проверки линейности корреляционной зависимости.

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

η=корень из(δ^2 / σ^2)=корень из(1- σ^2ост / σ^2)

где:δ^2 - дисперсия выравненных значений результативного признака, то есть рассчитанных по уравнению регрессии;σ^2 - дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака;σ^2ост - остаточная дисперсия.

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1.

11. Коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации (R2)— это доля дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения, объясняемая рассматриваемой моделью связи(объясняющими переменными). Модель связи обычно задается как функция от объясняющих переменных. В частном случае линейной связи R2 является квадратом коэффициента корреляции между зависимой переменной и объясняющими переменными.

Общая формула для вычисления коэффициента детерминации:

R^2=(сумма(fi - yср)^2)/(сумма(yi – yср)^2)

где yi — наблюдаемое значение зависимой переменной, а fi — значение зависимой переменной предсказанное по уравнению регрессии yср -среднее арифметическое зависимой переменной.

Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока):

Количественная мера тесноты связи	Качественная мера тесноты связи
0,7 - 0,9	Высокая
0,9 - 0,99	Весьма высокая

Функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи — 0. При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение.

С другой стороны, близость коэффициента детерминации к единице может быть следствием того, что модель излишне точно описывает имеющиеся эмпирические данные, которые содержат случайную составляющую. Например, если у нас имеется n точек, то мы можем подобрать модель в виде полинома n - 1 степени, которая точно пройдет через все точки. Но если эмпирические данные измерены не точно, такая модель не имеет смысла. Поэтому наряду с коэффициентом детерминации используют другие показатели адекватности и качества моделей.

12. Оценка значимости показателей корреляции и параметров уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости линейного коэф парной корреляции rxy и коэф линейной регрессии применяется t-критерий Стьюдента и рассчитываются доверительные интервалы каждого из показателей. Согласно t-критерию выдвигается гипотеза Н0 о случаной природе показателей, те о незначительном их отличии от 0. Далее рассчитываются фактические значения критерия tфакт для оцениваемых коэф регрессии и коэф корреляции rxy путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки. ta=a/ma; tb=b/mb; tr=rxy/mrxy

13. Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии.

Поскольку коэффициенты были определены с определенной погрешностью, то интерес представляет не точечная оценка (точечный прогноз) для результативного признака, а знание того, в каких пределах с определенной вероятностью будут лежать значения результативного признака, соответствующие взятому значению фактора х.

Для этого рассчитывается величина стандартной ошибки (среднеквадратичного отклонения). Она может быть получена следующим образом. В уравнение линейной регрессии подставляется выражение свободного члена a из оценок через средние величины. Тогда получается, что квадрат этой стандартной ошибки равен сумме квадрата ошибки среднего величины у и произведения квадрата ошибки коэффициента регрессии на квадрат отклонения величины фактора х и его среднего. Далее, первое слагаемое, согласно законам статистики, равно частному от деления дисперсии генеральной совокупности на величину (объем) выборки.

Вместо неизвестной дисперсии в качестве оценки используется выборочная дисперсия. Соответственно ошибка коэффициента регрессии определяется как частное от деления выборочной дисперсии на дисперсию фактора х. Можно получить величину стандартной ошибки (среднего квадратичного отклонения) и из иных соображений, более независимых от модели линейной регрессии. Для этого используется понятие средней ошибки и предельной ошибки и связь между ними.

Но и после получения стандартной ошибки остается вопрос о границах, в которых будет лежать прогнозное значение, иначе говоря — об интервале погрешности измерения в естественном во многих случаях предположении, что середина этого интервала дается рассчитанным (средним) значением результативного фактора у. Здесь на помощь приходит центральная предельная теорема, которая как раз и указывает, с какой вероятностью неизвестная величина находится в пределах этого доверительного интервала.

По существу, формула стандартной ошибки, независимо от того, каким образом и в каком виде она получена, характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки достигает минимума при совпадении значения фактора х со средним значением фактора.

14. Множественная регрессия, ее смысл и значение.

Множественная регрессия(МР) широко исп-ся в решении проблем спроса,

доходности акций, издержек пр-ва и других вопросах. Основная цель МР-

построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние

каждого из них в отдельности, а также их совокупное воздействие на

моделируемый показатель.

Модель множественной регрессии – уравнение, отражающее корреляционную связь между результатом и несколькими факторами. В общем виде мб записано как у=f(х1,х2,…,хp)

В качестве функций чаще всего выбирают линейную, показательную или степенную. Предполагается, что результат и факторы неслучайны и не имеют ограничений, и что влияние отдельного фактора не зависит от влияния других. В модель регрессии должны быть вкл факторы, тесно связанные с результатом и слабо – друг с другом (по коэф корреляции).

15. Отбор факторов, проблема мультиколлинеарности, выбор гипотетической формы уравнения регрессии.

Как и в парной зависимости, возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные. Наиболее широко используются линейная и степенная функции.

Факторы, включенные во МР, должны отвечать след требованиям:

1) дб количественно измеримы.

Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий кол измерения,

то ему нужно придать кол определенность

2) Факторы не д.б. интеркоррелированы и находиться в точной

функциональной связи. Система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечет неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии если включаются в модель факторы с высокой интеркорреляцией, когда Ryx

1<Rx1x2 для зависимости y=a+b1x1+b2x2+e. Если м/у факторами

существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на

результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказыв-ся

неинтерпретируемыми. Так в уравнении y=a+b1x1+b2x2+e. предполагается, что факторы x1, x2 независимы друг от друга, т.е. rx1x2=0. Тогда можно

говорить, что параметр b1 измеряет силу влияния фактора x1

на результат у при неизменном значении фактора x2. Если же rx

1x2=1, то с изменением фактора x1 фактор

x2 не может оставаться неизменным. Отсюда b1 и b2

нельзя интерпретировать как показатели раздельного влияния x1 и x2 и на y,

Наибольшие трудности в использовании МР - при

наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем 2 фактора связаны

между собой линейной зависимостью, те имеет место совокупное воздействие

факторов друг на друга. В результате вариация в исходных данных перестает

быть полностью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого фактора в

отдельности. Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в

силу последствий:

• затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как

характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированы;

параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

• оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и

меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по

знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

Для оценки мультиколлинеарности факторов могут использоваться

парные коэффициенты корреляции между факторами.

Через коэффициенты множественной детерминации можно найти переменные,

ответственные за мультиколлинеарность факторов. Для этого в качестве

зависимой переменной рассматривается каждый из факторов. Чем ближе значение

коэффициента множественной детерминации к единице, тем сильнее проявляется

мультиколлинеарность факторов. Сравнивая между собой коэффициенты

множественной детерминации факторов можно выделить переменные, ответственные

за мультиколлинеарность, следовательно, можно решать проблему отбора

факторов, оставляя в уравнении факторы с минимальной величиной коэффициента

множественной детерминации.

Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной корреляции. Самый

простой путь устранения мультиколлинеарности состоит в исключении из модели

одного или нескольких факторов.

16. Оценка параметров уравнения множественной регрессии.

Наиболее простым методом оценки параметров множественной регрессии – МНК (если классическая нормальная линейная модель). В линейной множественной регрессии

Ŷх=а+b1x1+b2x2+..+bpxp

параметры при переменной x называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленном на среднем уровне.

Возможен и иной подход к построению уравнения множественной регрессии,когда на основе матрицы коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном виде:

Ty=β1tx1+β2tx2+..+βptxp

β -стандартизованные коэффициенты регрессии - показывают, на сколько % изменится в среднем результат, если соответствующий фактор xi изменится на 1 % при неизменном среднем уровне других факторов. Стандартизованные коэффициенты регрессии bi сравнимы между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

В этом основное стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов “чистой ” регрессии, которые несравнимы между собой.

коэффициенты “чистой ” регрессии связанны со стандартизованными коэффициентами регрессии следующими формулами: bi=βi*(σy/σx). Это позволяет от уравнения регрессии в стандартизованном виде переходить к уравнению регрессии в естественном виде.

17. Стандартизованные коэффициенты регрессии, их интерпретация.

Ŷх=а+b1x1+b2x2+..+bpxp

Ty=β1tx1+β2tx2+..+βptxp

18. Коэффициенты эластичности, их экономический смысл.

Величины абсолютных показателей силы связи определяюца единицами измерения факторов и поэтому не сравнимы между собой. Для сопоставления факторов по силе влияния используют относительные показатели силы связи – коэф эластичности. Общая формула по фактору xi имеет вид:

Эxi=(dy*xi)/(dxi*ŷ)

Где dy/dxi – частная производная функции регрессии по фактору xi

Ŷ – выровненное значение результата при заданном значение фактора xi

Коэф эластичности для линейной функции зависит от конкретных значений факторов, вкл в модель. В множественной регрессии все факторы кроме xi принимают значение средних значений. Таким образом, при фиксированных значениях других факторов сущ целый ряд коэф эластичности по фактору xi, определяемый областью значений этого фактора. Она называюца частными коэф эластичности. А если зафиксировать фактор xi на среднем уровне, то мы получи средний коэф эластичности. И как следует из МНК для линейной регрессии, выражение в знаменателе становиться равно среднему у, что позволяет упростить формулу.

Эср_xi=bj*(x_jср/yср)

Коэф эластичности показывают, на сколько % в ср изменница результат при изменении фактора xj на 1% и значениях др факторов, фиксированных на ср уровнях. Сравнивая эти коэф между собой, можно сделать вывод о том, какой фактор более сильно влияет на результат.

19. Частные уравнения регрессии.

На основе линейного уравнения множественной регрессии:

y = a + b1*x1 + b2*x2+.+bp*xp+e, могут быть найдены частные уравнения регрессии:

yx1.x2,x3,.,xp = f(x1),

yx2.x1,x3,.,xp = f(x2),

.........

yxp.x1,x2,.,xp-1 = f(xp),

т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с

соответствующими факторами х при закреплении других учитываемых во

множественной регрессии факторов на среднем уровне. Частные уравнения

регрессии имеют следующий вид:

yx1.x2,x3,.,xp = a + b1*x1 + b2*x2 с чертой наверху + b3*x3 с чертой.+bp*xp с чертой+e,

yx2.x1,x3,.,xp = a + b1*x1 с чертой + b2*x2 + b3*x3 с чертой.+bp*xp с чертой+e,

.......................................

yxp.x1,x2,.,xp-1 = a +b1*x1 с чертой + b2*x2с чертой +.+bp-1*xp-1 с чертой + bp*xp +e,

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов

они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т.е. имеем:

y с ^ наверху x1..x2x3..xp = A1+b1*x1;

y с ^ наверху x2..x1x3..xp = A2+b2*21;

....................

y с ^ наверху xp..x1x2..xp-1 = Ap+bp*xp;

где

A1= a + b2*x2 с чертой наверху + b3*x3 с чертой.+bp*xp с чертой,

A2= a + b1*x1 с чертой наверху + b3*x3 с чертой.+bp*xp с чертой,

...............................

Ap= a + b1*x1 с чертой наверху + b2*x2 с чертой.+bp-1*xp-1 с чертой.

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют

изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на

неизменном уровне. Эффект влияния других факторов присоединены в них к

свободному члену уравнения множественной регрессии. Это позволяет на основе

частных уравнений регрессии определять частные коэффициенты эластичности:

Эyxi=bi*(xi/y c^ наверху xi.x1x2.xi-1xi+1.xp), где

bi – коэффициент регрессии для фактора xi в уравнении множественной регрессии;

y c^ наверху xi.x1x2.xi-1xi+1.xp – частное уравнение регрессии.

20. Частные и общий F-критерий в оценке результатов множественной регрессии.

Частный Fxi. С помощью F-критерия Фишера опред значимость уравнения множеств регрессии в

целом, как и в парной регрессии.

Fфакт=Dфакт/Dостат=(R2/1-R2)*((n-m-1)/m);

D-дисперсия факторная и остаточная. Dфакт-факторная сумма квадратов на одну степень

свободы, Dостат-остаточная сумма квадратов на одну степень свободы. R2

-коэф-т множественной детермин-ии. m-число параметров при переменных х (в

линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов). n-число

наблюдений.

С помощью F-критерия Фишера опред-ся значимость уравнения множеств регрессии в

целом. Формула частного критерия Фишера:

Fxi=(R2yx1...xm-R2yx1...xi-1; xi+1...xm)/(1- R2yx1...xm)*((n-m-1)/1);

R2yx1...xm-коэффициент множественной детерминации для регрессии с полным набором факторов.

R2yx1...xi-1; xi+1...xm-для ур-ия множеств-й регрессии без включения в модель фактора xi. Частный F критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом.

Если Fxi>Fтабл при α=0,05 (заданном) ν1=n-m-1; ν2=1, то

включение i-го фактора статистически оправдано. Если Fxi<Fтабл –то не

оправдано.

С помощью частного Fкритерия м. проверить значимость всех коэф-ов регрессии

предлагая, что каждый соотв-щий фактор xi вводился в ур-ие множ-й

регр последним.

Кроме оценки значимости включения отд факторов F-критерия Фишера используюца для оценки значимости всей модели в целом - общий F-критерий. Под незначимостью модели понимаеца одновременное равенство всех коэф при факторах нулю: b1=b2=…=bp=0.

Фактическое значение F-критерия рассчитываеца по формуле:

F=(SSфакт*(n-m-1))/(SSост*m)

На осн этой формулы можно получить формулу расчета F-критерия через коэф множественной детерминации: F=(R^2*(n-m-1))/((1-R^2)*m)

Фактическое значение F-критерия сравнивают с табличным, найденным для df1=m и df2=(n-m-1) степеней свободы. Уравнение регрессии значимо, если фактическое значение F-критерия больше табличного.

28. Структурная и приведенная формы эконометрической модели.

Cтруктурная форма модели = система одновременных уравнений: одни и те же

зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую часть системы, т.е. одни и те же переменные (у) одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях, и как независимые в др.

СФМ содержит эндогенные (у - зависимые переменные, их число = числу уравнений в

системе) и экзогенные переменные (х - предопределенные переменные, влияющие на эндогенные, но независящие от них).

Простейшая СФМ имеет вид системы уравнений:

у1=b12y2+a11x1+эпсилон1

y2=b21y1+a22x2+эпсилон2.

СФМ позволяет увидеть влияние изм-й любой экзогенной пер-й на знач-я

эндогенной. СФМ в правой части содержит коэф-ты: при у – bi, при х – aj,

которые наз-ся структурными коэф-ми модели. Все пер-е выражены в отклонениях

от среднего уровня, т.е. под х и у подразумевается, соответственно, х=х-хср,

у=у-уср. Следовательно, нет свободных членов.

Т.к. исп-е МНК для оценивания стр-х коэф-тов невозможно (смещенные и

несостоятельные оценки), СФМ преобразуется в ПФМ.

ПФМ представляет собой систему линейных функций эндогенных пер-х от

экзогенных. Коэф-ты ПФМ представляют собой нелинейные функции коэф-тов СФМ.

Для СФМ вида: система Ур-й:

у1=b12y2+a11x1

y2=b21y1+a22x2;

ПФМ имеет вид:система Ур-й:

у1=сигма11*х1+сигма12*x2

y2=сигма21*х1+сигма22x2,

где сигмаij выражена из aj и bi.

Для примера найдем первое Ур-е из ПФМ. Выразим из первого Ур-я СФМ у2.

у2=(у1-а11х1)/b12.

Подставим значение у2 во второе Ур-е СФМ и получим:

(у1-а11х1)/b12=b21у1+а22х2.

Из данного равенства выражаем

у1=[а11/(1-b12*b21)]*х1+[а22*b12/(1-b12*b21)]*х2.

Пусть [а11/(1-b12*b21)]=сигма1, а [а22*b12/(1-b12*b21)]=сигма2,

тогда получим Ур-е ПФМ вида у1=сигма11*х1+сигма12*x2 (первое Ур-е системы ПФМ). Аналогично находится второе Ур-е системы ПФМ.

ПФМ хотя и позволяет получить знач-я эндогенных пер-х через знач-я

экзогенных, аналитически уступает СФМ, т.к. в ней отсутствуют оценки

взаимосвязей между эндогенными пер-ми.

34. Оценка параметров уравнения тренда.

При использовании полиномов разных степеней оценка параметров уравнения тренда производица МНК точно так же, как оценки параметров уравнения регрессии на осн пространственных данных. В качестве зависимой переменной рассматриваюца уровни динамического ряда, а в качестве независимой переменной – фактор времени t, кот обычно выражаеца рядом натуральных чисел: 1,2..n.

Оценка параметров нелинейных функций проводица МНК после линеаризации, те приведения их к линейному виду. Прим есть:

Показательная кривая y=ab^t

Экспонента y=e^a⁺^bt

Путем логарифмирования функции приводятся к линейному виду: lny=lna+tlnb или экспоненты: lny=a+bt. Далее строится система нормальных уравнений:

Суммаlny=n*lna+lnb*суммаt

Суммаt*lny=lna*суммаt+lnb*суммаt^2

Решая ее находим lna и lnb и далее из этого находим

a=e в степени lna

b=e в степени lnb

b-темп роста/снижения.

36. Анализ временных рядов при наличии периодических колебаний: аддитивная и мультипликативная модели.

Аддитивные модели представляют собой обобщение Множественной регрессии. В частности, в линейной регрессии линейная подгонка методом наименьших квадратов вычисляется для набора переменных Х, чтобы предсказать зависимость переменной У. Хорошо известное уравнение линейной регрессии с m переменными можно сформулировать, как:

Y = b0 + b1*X1 +.. bm*Xm

Где Y обозначает зависимую переменную (для предсказанных значений), X1 при помощи Xm представляет m значения для предсказанных переменных, а b0, и b1 при помощи bm коэффициенты регрессии, оцененные при помощи множественной регрессии. Обобщение множественной регрессионной модели сохраняет аддитивную природу модели, но перемещая простые члены линейного уравнения bi*Xi с fi(Xi), где fi непараметрическая функция Xi. Другими словами, вместо отдельного коэффициента для каждой переменной (аддитивного элемента) в модели в аддитивных моделях не уточненная (непараметрическая) функция оценивается для каждого фактора, чтобы получить наилучшее предсказание значения зависимой переменной.

В классической мультипликативной модели временных рядов постулируется, что наблюдаемое значение отклика в любой точке временного ряда является произведением трех факторов — тренда, циклической и нерегулярной компоненты, и любое значение ряда может быть представлено в виде:

Yi = T i × Ci × Si × Ii,

где Yi — значение отклика, а T i, Ci, Si, Ii — соответственно значения трендовой, циклической, сезонной и нерегулярной компонент в любой точке ряда.

Тренд не является единственной составляющей ряда, так как отчетливо можно выделить периоды ускоренного или замедленного роста или падения. Считается, что тренд осложнен существованием циклической (циклической составляющей) и нерегулярной компонент.

Циклическая компонента объясняет отклонения от тренда с периодичностью от 2 до 10 лет; обычно она может изменяться по длине периода и своей. Сезонная компонента определяет короткопериодические колебания, связанные именно с изменениями внутригодовой активности и повторяющиеся через более или менее фиксированные моменты времени; отслежены они могут быть при ежеквартальных, ежемесячных и более частых наблюдениях. Естественно связать сезонную компоненту с влиянием традиций (сезонные и рождественские распродажи), социальных привычек (высокая активность в курортном бизнесе в летнее время и существование «мертвых сезонов» в иные периоды), религиозных факторов (рождественские и пасхальные поездки к родственникам или друзьям в христианских странах, продажи пищевых продуктов и общественное питание во время праздников и др.).

При анализе данных методом временных рядов вначале обычно строят график зависимости отклика по времени для определения общей долговременной тенденции повышающего или понижающего тренда. Если данные сильно осциллируют и общий тренд не угадывается, может потребоваться сглаживание временного ряда, после выполнения которого тренд обычно выявляется. В дальнейшем для описания временного ряда используется один из методов регрессии данных ряда на временную ось и полученная регрессия используется в целях прогнозирования.

37. Особенности изучения взаимосвязанных време

вечернее отделение 2011-2012 гг.

Поиск по сайту