Понятие логарифмического уравнения.

План.

Понятие логарифмического уравнения.

Методы решения логарифмических уравнений.

Понятие логарифмического уравнения.

Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма или в основании логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения: Определение логарифма Логарифмом числа b по основаниюа называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Десятичные логарифмы (логарифмы по основанию 10) обозначаются как Натуральные логарифмы (логарифмы по основанию е) обозначаются как Свойства логарифма Действия с логарифмами логарифм произведения: логарифм частного: логарифм степени: логарифм корня: переход к новому основанию: Дополнительные формулы:

Простейшим логарифмическимуравнением служит уравнение вида

2. Методы решения логарифмических уравнений. Обычно решение логарифмических уравнений начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования. Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.

• По определению логарифма;

• Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма);

• Решение уравнений с использованием свойств логарифмов;

• Метод введения новой переменной;

• Логарифмирование уравнений;

• Другие методы (функционально-графический, метод приведения к одному основанию).

Рассмотрим каждый метод более подробно.

1) ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЛОГАРИФМА.

По определению логарифма решаются простейшие уравнения вида .

.

Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

ОДЗ: ,

Пример 2. Решить уравнение ,

Решение: ,

ОДЗ: .

Пример 3. Решить логарифмическое уравнение:

2) МЕТОД ПОТЕНЦИРОВАНИЯ (ОСВОБОЖДЕНИЯ ОТ ЗНАКА ЛОГАРИФМА).

Решение логарифмического уравнения основано на том, что данное уравнение равносильно уравнению при дополнительных условиях

.

Этот способ решения называется потенцированием – переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.

Пример 5. Решить уравнение:

Пример 6. Решить уравнение

Пример 8. Решите уравнение

Пример 9. Решите уравнение

Пример 10. Решите уравнение

Пример 11. Решите уравнение

Пример 12. Решить уравнение

Решение:

ОДЗ:

В данном уравнении повторяется выражение: .

Значит можно выполнить замену переменной.

Пусть . Тогда уравнение примет вид

Возвратимся к исходной переменной.

Остается решить простейшие логарифмические уравнения:

Ответ: .

Пример 13. Решить уравнение

Пример 14. Решить уравнение

5) Рассмотрим следующий МЕТОД РЕШЕНИЯ – ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЙ

Пример 15. Решите графически

Строим по точкам графики двух функций ищем абсциссу точек пересечения графиков.

6) МЕТОД ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 16.

 

Пример 17. Решить уравнение

 

7) МЕТОД ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ.

Этот метод применятся при решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Пример 18. Решить уравнение:

Проверка: подставив в исходное уравнение (сделать самостоятельно), получим, что оба корня подходят. Ответ: 2;

Решить уравнение.