Даны две плоскости комплексных чисел 
и 
.
у v
| |||
 | |||
0 х 0 u
Рассмотрим некоторое множество D в плоскости z и множество G в плоскости w. Если каждому числу 
ставится в соотношении по некоторому закону определённое комплексное число 
, то говорят, что на множестве D задана однозначная функция комплексной переменной, отображённое множество D в множество G и обозначается 
. Множество D называется областью определения функции.
Функцию 
можно записать в виде 
, где 
, 
- действительные функции от переменных x,y.
Если каждому значению z соответствует несколько разных значений w, то функция называется многозначной.
Говорят, что функция 
имеет предел в точке 
, равный числу 
, если 
.
Для комплексных функций имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам действительных функций:
;
, 
Функция называется непрерывной в точке , если для неё выполняется свойство: 
Это равенство эквивалентно двум равенствам:
.
Следовательно, непрерывность f точке эквивалентно непрерывности функций 
и 
в точке 
.
Производная функция комплексного переменного. Пусть задана однозначная функция 
на области D комплексной плоскости z.
Производной от функции f(z) в точке z называется предел
,
когда 
z любым образом стремиться к нулю.
Функцию f(z), имеющую непрерывную производную в любой точке области D комплексной плоскости, называется аналитической функцией на этой области.
Основные свойства производных функций комплексных переменных, аналогичны соответствующим свойствам производных для функций действительных переменных.
Условия Коши – Римана. Рассмотрим комплексную функцию , , определена на области D комплексной плоскости. Пусть она имеет производную в точке : 
. Тогда следующие равенства называют условиями Коши - Римана:
|
|
Теорема 1. Если функция имеет производную в точке , то её действительные компоненты u и v d в точке (x,y) имеют частные производные 1-го порядка, удовлетворяющие условию Коши-Римана.
Теорема 2. Если функции u(x,y), v (x,y) имеют в точке (x,y) непрерывную частную производную, удовлетворяющую условие Коши-Римана, то её функция комплексная переменная 
имеет в точке производную, которую можно вычислить по формуле:
.
Теорема 3. Для того чтобы функция была аналитической на области D плоскости z, необходимо и достаточно чтобы частные произведения первого порядка функций u и v были непрерывны на D и выполнялось условие Коши-Римана:
; 
.
Формулы Эйлера. Рассмотрим ряд 
заменим в данном ряде z на iz, тогда
.
cos z sin z
так как 
, 
, то заменяя в тождестве Эйлера z на –z, получаем:
.
Из этих равенств можно получить следующие:
, 
Эти формулы также носят название Эйлера.
Пользуясь тождеством Эйлера, получаем так называемую показательную формулу для представления 
комплексного числа:
Пример. Дифференцируема ли функция f(z) = z2 - 2iz.
Решение: f(z) = (x+iy)2 -2i(x+iy) = x2 +2xyi -y2 -2xi + 2y = x2 - y2 +2y +
+ i(2xy - 2x), итак u = x2 - y2 +2y, v = 2xy - 2x, тогда
Условия Коши - Римана выполняются, следовательно, функция дифференцируема.