Исходные данные
Требуется:
1. Для многопролетной балки сделать кинематический анализ и вывод о ее кинематических и статических признаках.
2. Определить внутренние усилия от неподвижной нагрузки.
3. Определить внутренние усилия от совместного действия неподвижной и временной нагрузок (qвр=4 кН/м).
Кинематический анализ
Рис.1
Для подсчета числа степеней свободы представим многопролетную балку в виде кинематической цепи (рис.1). Из рис.1 следует, что
Д = 4; У = 0; Ш = 3; С = 0; Со = 6.
Тогда по формуле
W = 3Д + 2У - 2Ш - С - С0 ,
получим
W= 3 · 4 – 2 · 3 – 6 = 0.
Так как подсчитанное число степеней свободы удовлетворяет условию W=0, то выполним анализ геометрической структуры балки.
Диск Д1 крепится к диску-земля при помощи 3 опорных стержней С01 , С02 , С03 и образует с ним единый диск. Диски Д2 крепятся к расширенному диску при помощи шарнира Ш1 и опорным стержнем С04 и образуют с ним единый диск. Диски Д3 крепятся к расширенному диску при помощи шарнира Ш2 и опорным стержнем С05 и образуют с ним единый диск. Диски Д4 крепятся к расширенному диску при помощи шарнира Ш3 и опорным стержнем С06 и образуют с ним единый диск.
Таким образом, на основании подсчета числа степеней свободы и анализа геометрической структуры можно сделать выводы, что рассматриваемая многопролетная балка геометрически неизменяемая с необходимым числом связей и статически определимая.
Аналитическое определение внутренних усилий
От неподвижной нагрузки
Изображение расчетной схемы балки с неподвижной нагрузкой
Рис. 2,а
Монтажная схема балки и порядок расчета ее звеньев
Рис. 2,б
В соответствии с указанным порядком рассчитываем звенья многопролетной балки как однопролетные балки.
Звено 1
Для определения опорных реакций составим для балки сумму моментов сил относительно точки К
Σ М К = 0;
–q4·2·2/2 – P4·2 + VM·3 = 0; V M = (2·q4 + P4·2)/3;
V M = 11 (кН).
и сумму моментов сил относительно точки M
Σ М M = 0;
– V К ·3 + q4·2·(2/2+1) + P4·1 = 0;
VK= (q4 ·2·2 + P4)/3;
VK=10 (кН).
Составим аналитические выражения для определения внутренних усилий.
1) 0 ≤ х ≤ 1 м;
М(x) =VM · x =11 · х (кН·м);
при х = 0 м М = 0 (кН·м);
при х =1 м М = 11 (кН·м).
Q (x)= – VM = –11 (кН);
при х = 0 м Q = –11 (кН);
при х = 1 м Q = –11 (кН).
2) 0 ≤ х ≤ 2 м;
М (x)= VM· (x+1) – P4· x – q4·x2/2 (кН·м); при х = 0 м М = VM· 1=11· 1 =11(кН·м);
при х = 2 м М = 11· 3 –12· 2 – 4.5· 2 =
=33 – 24 – 9 = 0(кН·м).
Q (x)= – VM + P4 +q4·x= –11 + 12 – 4,5·x (кН);
при х = 0 м Q = –11 + 12 = 1 (кН);
при х = 2 м Q = –11 + 12 – 4,5· 2 = 10 (кН).
На основании полученных значений были построены эпюры внутренних усилий.
Звено 2
Для определения опорных реакций составим для балки сумму моментов сил относительно точки E.
Σ М E = 0;
VF ∙4 – VK ∙5 = 0; V F = 12,5 (кН)
и сумму моментов сил относительно точки F
Σ М F = 0;
–VE ∙4 – VK∙1= = 0;
V E= – 2,5 (кН).
Составим аналитические выражения для определения внутренних усилий. 1) 0 ≤ х ≤ 1 м;
М (x)= – VK · х = – 10 ·x (кН·м);
при х = 0 м М = 0 (кН·м);
при х = 1 м М = – 10· 1= – 10 (кН·м).
Q(x) = VK = 10 (кН);
при х = 0 м Q =10 (кН);
при х = 1 м Q =10 (кН).
2) 
0 ≤ х ≤ 4 м;
М(x)= –VK ·(1 + x) + VF ·x = – 10·(1+ x) + 12,5 ·x (кН·м); при х = 0 м М = – 10·1 = – 10 (кН·м);
при х = 4 м М = – 10·5 + 12,5 ·4 = 0(кН·м).
Q (x)= VK –VF =10 – 12,5 = – 2,5 (кН);
при х = 0 м Q = – 2,5 (кН);
при х = 4 м Q = – 2,5 (кН).
На основании полученных значений были построены эпюры внутренних усилий.
Звено 3
Для определения опорных реакций составим для балки сумму моментов сил относительно точки С.
Σ М С = 0;
VE·4 – P2 ·4 + VD ·3 – q3 ·3·3/2= 0; 2,5 ·4 – 9 ·4 + VD ·3 – 6 ·3 ·3/2 =0;
VD =17,667 (кН).
и сумму моментов сил относительно точки D
Σ М D = 0;
– VC · 3 + q3 · 3 · 3/2 +VE · 1 – P2 · 1 = 0;
VC = (6·3·3/2 +2,5 – 9)/3 =6,833 (кН).
VC =6,833 (кН).
Составим аналитические выражения для определения внутренних усилий.
1) 0 ≤ х ≤ 1 м;
М (x)= VE – P2 · x;
при х =0 м М = 0 (кН·м);
при х =1 м М = 2,5 – 9 · 1= – 6,5 (кН·м).
Q(x) = – VE + P2 = – 2,5 + 9 = 6,5 (кН);
при х = 0 м Q = 6,5 (кН);
при х = 1 м Q = 6,5 (кН).
2) 
0 ≤ х ≤ 3 м;
М(x)= VE ·(x + 1) – P2 ·(x + 1) + VD · x – q3·x2/2(кН·м); при х = 0 м М = 2,5 – 9 = – 6,5 (кН·м);
при х = 3 м М =2,5 · 4 – 9 · 4 +17,667 · 3 – 27 =
= 0(кН·м).
Q(x) = – VE + P2 – VD +q3 ·x (кН);
при х = 0 м Q = – 2,5 +9 – 17,667 = –11,167 (кН);
при х = 3 м Q = – 2,5 +9 – 17,667 + 6· 3= 6,833 (кН).
Определим максимальное значение М на этом участке.
Q = 0 кН – 2,5 +9 – 17,667 + 6· x = 0;
x=1,861 (м).
M = 3,892 (кН·м).
На основании полученных значений были построены эпюры внутренних усилий.
Звено 4
Для определения опорных реакций составим для балки сумму моментов сил относительно точки С.
Σ М С = 0;
– 4 · VC + VB · 3 – P1 ·1 – P1 ·4 = 0;
– 4 · 6,833 + VB · 3 – 7 ·1 – 7 ·4 =0;
VB = 20,777 (кН).
и сумму моментов сил относительно точки B
Σ М B = 0;
– VC · 1 – VA ·3 + P1 ·2 – P1 = 0;
– 6,833 · 1 – VA ·3 + 7 ·2 – 7 = 0;
VA = 0,056 (кН).
Составим аналитические выражения для определения внутренних усилий.
1) 0 ≤ х ≤ 1 м;
М(x)= – VC · x – P1 · x (кН·м);
при х = 0 м М= 0 (кН·м);
при х = 1 м М = – 6,833 · 1 – 7 · 1 = – 13,833(кН·м).
Q (x)= VC + P1;
при х = 0 м Q = 13,833 (кН);
при х = 1 м Q = 13,833 (кН).
2) 0 ≤ х ≤ 2 м;
М(x) = – VC ·(x +1) – P1 · (x + 1) +VB ·x (кН·м);
при х = 0 м М= – 6,833 – 7 = – 13,833 (кН·м);
при х =2 м М= - 6,833· 3 - 7·3 + 20,777 ·2 =
= 0, 056 (кН·м).
Q(x) = VC – VB + P1 = – 6,944 (кН);
при х = 0 м Q = – 6,944 (кН);
при х =2 м Q = – 6,944 (кН).
3) 
0 ≤ х ≤ 1 м;
М(x) = – VC · (3 + x) + VB · (2 + x) – P1 · x –
– P1·(3+x) (кН·м);
при х = 0 м М = 0.056 (кН·м);
при х =1 м М= 0 (кН·м).
Q(x) = VC - VB + P1 + P1 = 0,056 (кН);
при х = 0 м Q = 0,056 (кН);
при х =1 м Q = 0,056 (кН).
На основании полученных значений были построены эпюры внутренних усилий.
Эпюры
Проверка равновесия балки в целом
Σ y = 0
VA – P1 + VB – P1 – q3 · 3 + VD – P2 + VF – q4 · 2 – P4 +VM = 0
0,056 – 7 + 20,777 – 7 – 6 · 3 + 17,667 – 9 + 12,5 – 4,5 · 2 – 12 + 11 = 0
0 = 0
Σ М L = 0
– VA·1 +VB·2 – P1·3 – q3 ·3 ·4,5+VD ·6 – P2·7 +VF·11 – q4 ·2 ·13 – P4·14 +VM·15 = 0
– 0,056·1 +20,777·2 – 7·3 – 6 ·3 ·4,5+17,667 ·6 – 9·7 +12,5·11 – 4,5 ·2 ·13 –12·14+ +11·15 = 0
0 = 0