Тема 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1.1. Источник звука
Мы живём в мире звука. Источником звука служит любой вибрирующий, колеблющийся предмет:
- голосовые связки, мембраны, резинки и другие деформируемые предметы,
- жужжание крыльев насекомых, скрип крыльев мельницы, шёпот паруса, шум прибоя, шелест листвы и другие шумы,
- ножка камертона, клавиша рояля, струна музыкального инструмента, труба духового музыкального инструмента и т. д.,
- ротор двигателя автомобиля, самолёта, корабля, поезда, мотоцикла, экскаватора и других транспортных средств,
- автоматические устройства, станки, промышленные установки,
- ротор двигателя швейной машинки, вентилятора, холодильника и других бытовых предметов,
- ротор двигателя дрели, лобзика, дисковой пилы, газонокосилки и других электроинструментов и приспособлений,
- и т. д.
1.2. Закон механических гармонических колебаний
Колеблющееся тело называют маятником.
Колебанием (колебательным движением) называют движение или процесс, повторяющийся во времени.
Колебания маятника называют механическими колебаниями.
Если повторение происходит через равные интервалы времени, то колебания периодические. Соответственно интервал времени называют периодом (T).
Маятник в процессе колебаний меняет своё положение (координату), скорость, ускорение, кинетическую и потенциальную энергии. Рассмотрим колебание маятника на примере пружинного маятника, состоящего из пружины и прикреплённого к ней грузика (рис. 1), периодически движущегося вверх-вниз (вдоль оси 0x).
Если колеблющийся маятник с лентопротяжным механизмом, то на бумажной ленте перо, прикреплённое к маятнику, рисует линию. При равномерном движении бумажной ленты в горизонтальном направлении перо будет рисовать на ней косинусоиду или синусоиду. Эта линия изображает график функции x(t), где время t является аргументом и на графике зависимости x(t) откладывается по оси абсцисс, а координата x является функцией времени и на графике отмечается по оси ординат.
Когда нет потери энергии колеблющегося маятника или потерями можно пренебречь, колебания становятся гармоническими. Это означает, что изменение координаты грузика в вертикальном направлении происходит во времени по гармоническому закону (закону косинуса или синуса):
, (1)
, (2)
Уравнение (1) и (2) называют законом механических гармонических колебаний.
Функцию "косинус" применяют, если маятник начал движение путём первоначального отклонения из положения равновесия, т. е. он приобрёл начальную координату. В этом случае в маятнике была запасена потенциальная энергия. Функцию "синус" используют, по маятнику ударили в положении равновесия, т. е. он приобрёл начальную скорость. В этом случае в маятнике была запасена кинетическая энергия. В процессе колебаний потенциальная и кинетическая энергия периодически преобразуются друг в друга: при наибольшем смещении вся механическая энергия маятника равна потенциальной, а при отсутствии смещения в положении равновесия вся механическая энергия равна кинетической.
1.3. Характеристики механических гармонических колебаний
В уравнениях (1) или (2) наибольшее смещение маятника из положения равновесия положения называют амплитудой смещения (xmax). В системе СИ её единица измерения – метр:
.
Выражение в скобках уравнений (1) или (2) называют фазой колебаний
. (3)
Единицей измерения фазы служит радиан:
.
В начальный момент времени (начало движения) фаза равна
,
Поэтому величину j0 называют начальной фазой. Её можно принять равной 0.
Величину w называют циклической (или угловой) частотой колебаний. Она измеряется в радианах-в-секунду:
.
В процессе колебаний её значение не меняется. Величина w связана с величиной n, называемой частотой колебаний, формулой:
. (4)
По определению, частота n равна отношению числа N полных колебаний, совершаемых за время t, к этому времени:
. (5)
Эта величина измеряется в герцах:
.
Физический смысл частоты состоит в том, что она численно равна числу полных колебаний за единицу времени, т. е. за 1 с
.
Величину, равную отношению времени колебаний к числу этих колебаний, называют периодом колебаний
. (6)
Период измеряется в секундах:
.
Физический смысл периода состоит в том, что он численно равен времени одного полного колебания
.
Следовательно, период связан с частотой и циклической частотой формулами:
, (7)
. (8)
1.4. Энергия механических гармонических колебаний
Энергия механических колебаний равна сумме потенциальной энергии и кинетической энергии:
. (9)
Энергия измеряется в джоулях:
.
Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника, квадрату частоты колебаний, квадрату координаты (смещения) маятника и равна
. (10)
Подставим в выражение (10) закон колебаний (1), тогда
. (11)
Видно, что значение потенциальной энергии периодически меняется во времени. Период квадрата косинуса в 2 раза меньше чем период косинуса, поэтому период изменения потенциальной энергии в 2 раза меньше периода изменений координаты. За одно полное колебание маятника потенциальная энергия дважды принимает нулевое значение, когда маятник проходит положение равновесия, и дважды имеет максимальное значение при максимальном смещении маятника. Максимальное значение потенциальной энергии равно
. (12)
Кинетическая энергия пропорциональна массе маятника и квадрату скорости колебаний:
. (13)
А скорость равна отношению изменения координаты ко времени этого изменения:
. (14)
Единица измерения скорости – метр в секунду:
.
Подставив уравнение (1) в выражение (14), получим:
.
Амплитуда скорости колебаний равна
.
Выражение для скорости возведём в квадрат и подставим в уравнение (13):
. (15)
Следовательно, что значение кинетической энергии тоже периодически меняется во времени, и за одно полное колебание потенциальная энергия дважды принимает нулевое значение, когда маятник максимально смещён, и дважды имеет максимальное значение в положении равновесия маятника. Максимальное значение кинетической энергии такое же, как и потенциальной, если нет потери энергии.
. (16)
Теперь найдём полную механическую энергию колебаний маятника, подставив выражения (11) и (15) в уравнение (9):
(17)
Таким образом, за период колебаний полная механическая энергии маятника постоянна и равна амплитуде потенциальной и кинетической энергии.