Возникшая ситуация, на самом деле, не нова. Физика уже сталкивалась с системами, в которых взаимодействие между частицами насколько важно, что оно полностью меняет картину поведения вещества. И несмотря на то, что в общем случае теоретическа физика пока бессильна описать произвольную систему в режиме сильной связи, в некоторых конкретных случаях решение все-таки было найдено.
Самый известный случай — это, пожалуй, квазичастицы. Рассмотрим обыкновенный идеальный кристалл. В нем атомы или ионы расположены в строгом порядке, в узлах некой кристаллической решетки. Взаимодействие между соседними атомами настолько значительно, что если мы как-нибудь заставим один атом колебаться, то это моментально приведет к колебанию его соседей, затем более удаленных атомов и так далее. В результате мы получаем, что описывать "жизнь" кристалла на языке колебаний отдельных атомов крайне неудобно: мы не можем заставить этот атом колебаться, а этот — нет. Другими словами, отдельные атомы — это не есть настоящие степени свободы "жизни" кристалла.
Как же справиться с этой проблемой? Какое описание наиболее удобно для работы с кристаллом? Оказывается, благодаря высокой симметрии кристалла "жизнь" кристалла можно описать на совершенно ином языке — на языке особых квазичастиц: фононов.
Дело в том, что если мы начинаем колебать один атом, то все атомы тоже рано или поздно начинают колебаться, причем не произвольно, а совершенно определенным способом — синхронно. То есть, вместо того, чтобы говорить "мы заставили все атомы колебаться по такому-то сложному закону", можно сказать: "мы возбудили в кристалле одно единственное синхронное колебание, один фонон". Оба утверждения эквивалентны, в них содержится одна и та же информация, но второе утверждение намного проще! В результате оказывается, что многие задачи, которые теоретически "не пробивались" на языке колебаний отдельных атомов, относительно легко решаются на языке фононов.
|
|
Итог: в нашем конкретном примере мы взглянули на проблему совершенно с другой стороны: вместо сложной задачи о колебании связанных друг с другом атомов мы получили более простую задачу о практически невзаимодействующих фононах: отдельные атомы + сильное взаимодействие => практически свободные фононы
К сожалению, введение квазичастиц типа фононов полезно только в том случае, когда атомы образуют некое подобие кристалла. В случае же нашего гравитирующего облака никакого кристалла нет, и значит, фононы нам не помогут. Но тогда возникает предположение: а может быть, с задачей можно справиться, если как-то совершенно по-другому взглянуть на проблему?
Идея Тсаллиса
Именно попытка такого пересмотра и содержится в термодинамике Тсаллиса [1]. Весь этот подход базируется на одной смелой идее, на одной гипотезе:
вполне возможно, что сильное взаимодействие в термодинамически аномальных системах настолько меняет картину, что приводит к совершенно новым степеням свободы, к совершенно иной статистической физике не-больцмановского типа:
отдельные частицы с больцмановской статистикой + сильное взаимодействие => новые степени свободы с не-больцмановской статистикой + отсутствие взаимодействия
Эта гипотеза не доказана. Более того, совершенно непонятно, что это за новые степени свободы. И я не знаю ни одного примера, когда этот переход был бы явно наблюден, доказан. Поэтому это утверждение остается пока лишь гипотезой. Но с другой стороны, физическая интуиция подсказывает, что такой переход в том или ином виде в самом деле может иметь место. Поэтому в таких случаях физик на время оставляет попытки строго доказать этот переход и вместо этого пытается понять, к чему это может привести.
|
|
Если почти ничего неизвестно про эти новые степени свободы, то как же тогда можно получить что-то конструктивное? Тсаллис предложил следующее. Наша единственная зацепка заключается в том, что статистика будет не-больцмановская. Это значит, что выражение для энтропии будет уже иное. Так давайте придумаем какую-нибудь формулу для энтропии, которая, во-первых, переходила бы в стандартную формулу в пределе слабой связи, а во-вторых, смогла бы описать неэкстенсивные системы.
Итак, Тсаллис взял стандартное выражение для энтропии и вместо логарифма ввел новую функцию — степенную:
ln(x) –> lnq(x) = (x1–q – 1)/(1–q)
с неким числовым параметром q. Заметьте, что при q, стремящемся к 1, lnq(x) переходит в настоящий логарифм, в чем можно убедиться простым дифференцированием. Новая формула для q-энтропии выглядит так:
Sq = – Si (piq lnq(pi)) = (1 – Si piq)/(q – 1).
Если q –>1, то q-энтропия переходит в стандартную больцмановскую энтропию.
Главное следствие такой замены: q-энтропия является уже не экстенсивной функцией. Если всю систему разбить на две независимых подсистемы A и B (напомним, что мы уже перешли к новым невзаимодействующим, а значит, и независимым степеням свободы!), то мы получим:
|
|
Sq(A+B) = Sq(A) + Sq(B) + (1–q)Sq(A)Sq(B)
Итак, параметр q — это мера неэкстенсивности системы. Как видно, величина q пока ничем не ограничена и может принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности, однако некоторые ограничения могут возникнуть в той или иной конкретной задаче.
Может возникнуть резонный вопрос: ну хорошо, построили мы новую энтропию. Но откуда мы знаем, что эта энтропия обладает свойством увеличиваться при эволюции системы? Ведь, казалось бы, кинетическое уравнение Больцмана однозначно говорит, что неубывающей фукнцией является именно стандартное, больцмановское выражение для энтропии!
Ответ на этот вопрос прост: кинетическое уравнение Больцмана не универсально, а базируется на гипотезе молекулярного хаоса. Если же эта гипотеза нарушается, то нарушится и закон неубывания больцмановской энтропии. Более того, удается показать [2], что гипотезу молекулярного хаоса можно видоизменить таким способом, чтобы неубывающей функцией оказалась именно q-энтропия! Таким образом, предложение Тсаллиса влечет за собой не только обобщение термодинамики и статфизики, но и обобщение физической кинетики. Однако надо четко понимать, что это — не есть вывод термостатистики Тсаллиса, не есть доказательство того, что форма энтропии должна быть именно такая. Опять же, это лишь игра с формулами, исследование того, что в принципе может быть реализовано в природе.
Крайне важно понимать, что выбранная функциональная форма q-энтропии достаточно произвольна. Ее самый главный плюс: она может промоделировать неэкстенсивность. Однако доказательства того, что именно такая форма и должна возникать, нет.
Давайте теперь сделаем передышку и поймем, что же мы получили. Мы (а точнее, Тсаллис) придумали некоторое обобщение термодинамического подхода. Действительно, обычная термодинамика получается из нашего общего подхода при вполне конкретном значении параметра q = 1. Если же q отлично от 1, то мы имеем уже иную теорию, со своими законами, которые нам еще предстоит исследовать. Таким образом, мы построили целый класс различных термодинамик! И теперь наша задача — понять, каким физическим системам будет соответствовать та или иная термодинамика.
Развиваем теорию
Итак, мы имеем новое выражение для энтропии. На основе его мы теперь можем строить здание новой статистической физики. Мне хочется упомянуть здесь два интересных явления, возникающих в термостатистике Тсаллиса.
Первое — это последствия перехода от логарифмической к степенной фукнции. Если рассмотреть в рамках новой теории канонический ансамбль и получить, скажем, распределение частиц по энергии, то вместо известного распределения Гиббса
p(E) ~ exp(–E/kT)
мы получим
p(E) ~ [1 + (1–q)*(–E/kT)]q/(1–q)
Самым важным здесь является поведение этого распределения при больших значениях энергии. При q>1 мы имеем степенное, а не экспоненциальное падение в ростом энергии, а при q<1 мы получаем, что существует максимально возможная энергия, то есть, распределение обрезается на некотором значении E. Все три типа кривых (q<1, q=1, q>1) схематически показаны на Рисунке 2.
Второе явление более экзотическое, но тем не менее очень интересное [3]. При переходе от статфизики к термодинамике обычно используется термодинамический предел: количество частиц стремится к бесконечности и время, прошедшее между "приготовлением" системы и наблюдением за ней, стремится к бесконечности (для того, чтобы избавиться от зависимости от начальных условий). В случае обычной термодинамики было неважным, какой из этих двух пределов брать первым. Теперь же, в случае термодинамики Тсаллиса эти два предела могут отвечать различным физическим ситуациям.
Это можно проиллюстрировать таким образом (Рисунок 3). Сразу скажем, что рассмотренный пример — опять-таки гипотеза. Нет строгого доказательства того, что реально дело должно обстоять именно так. Но снова физическая интуиция подсказывает, что описанная ситуация очень правдоподобна, и значит, имеет право на то, чтобы быть исследованной.
Итак, рассмотрим некую термодинамически аномальную систему и проследим, как меняется во времени некая характеристика этой системы. В первые моменты после приготовления система эволюционировала, пока не пришла в некое термодинамически метастабильное состояние. Через некоторое достаточно большое время система, наконец, "сваливается" в стабильное состояние.
В силу некоторых причин (см. ниже) время "удержания" системы в метастабильном состоянии может расти с увеличением числа частиц в системе. Это показано на Рисунке 3: на нижнем графике число частиц больше, чем на верхнем, и значит, время жизни метастабильного состояния также больше.
Что отсюда следует? Если мы держим число частиц конечным, и стремим время наблюдения к бесконечности, мы движемся по одному из графиков вдоль оси времени (горизонтальная стрелка на рисунке). Для любого конечного N мы в пределе больших времен получаем стабильное состояние. Если же мы зафиксируем время наблюдения и будем неограниченно увеличивать число частиц, мы будем двигаться вниз по рисунку, и для любого конечного времени мы получим в конце концов метастабильное состояние. Если же мы имеем дело с реальной системой — то есть, количество частиц и время велики, но конечны — то могут реализоваться обе ситуации. Отсюда следует нетривиальный вывод:
В рамках термостатистики Тсаллиса, даже для одной и той же физической системы мы можем получить совершенно разные термодинамические картины!
И теперь несколько слов о том, как в системе может возникнуть большой масштаб времени. Возможностей здесь, по-видимому, может быть несколько, но одна из них такова. Взаимодействие между частицами может обладать такими свойствами, что после приготовления системы частицы начинают не хаотично двигаться по всему доступному фазовому объему, а "крутиться" около некоторых метастабильных траекторий (нечто типа аттрактора). Это, кстати, будет одним из примеров системы с памятью. Для того, чтобы частицы "вылетели" из этой западни и начали блуждать по всему фазовому пространству (то есть, для того, чтобы система термализовалась), требуется некоторое значительное время, которое вполне можно представить зависящим от числа частиц. И в то время, пока частицы блуждают по своему ограниченному подпространству, вся система целиком и находится в метастабильном состоянии.