Что стоит отметить касаемо представленных задач?

Тема: Объем шара

Цель урока: Вывести формулу объема шара.

Задачи урока:

1. Образовательная: вывести формулу для вычисления объёма шара, применять формулу объёма шара при решении задач.

2. Развивающая: развивать логическое мышление, навыки коллективной работы, умение обобщать и делать выводы.

3. Воспитательная: обеспечить условия для формирования положительного отношения к знаниям, к процессу учения. воспитывать внимание и аккуратность.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: проектор, чертежные инструменты (линейка, транспортир)

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний.

ü Дать определение шара, его радиуса, диаметра

ü Дать определение площади поверхности шара.

ü Записать формулу площади поверхности шар

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

3. Объяснение новой темы

- Мы уже рассматривали формулы для вычисления объемов некоторых многогранников и круглых тел.

Давайте вспомним и запишем под каждой фигурой уже известные нам формулы объемов.

Найти соотношение формул объемов и геометрических тел.

1. V = S · h

2. V = π r² h

3. V = 1/3π R² h

4. V = 1/3π S · h

Как давно появились эти формулы и кто первым открыл их? Еще до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы и цилиндра) были известны. Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евклида и Архимеда, были открыты формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса, шара и других тел. В современных учебниках формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса и шара выводятся на основе интегральной формулы. Этот простой и изящный способ появился благодаря трудам И. Ньютона и Г. Лейбница гораздо позднее того, когда были открыты сами формулы.

V_шара = 4/3πR³

Формула объёма шара:

Что стоит отметить касаемо представленных задач?

1. Если шар вписан в цилиндр, то у них общий радиус.

2. Высота цилиндра описанного около шара равна двум его радиусам (или диаметру).

3. Если куб вписан в шар, то диагональ этого куба равна диаметру шара.

Задачи 1 -2

Задача 3.

Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.

Формула объёма шара:

Необходимо найти радиус шара.

У шара и у цилиндра общий радиус. Основание цилиндра это круг с радиусом R, высота цилиндра равна двум радиусам. Значит объём цилиндра вычисляется по формуле:

Подставим данный в условии объём в формулу и выразим радиус:

Оставим выражение в таком виде, выражать радиус (извлекать корень третьей степени) не обязательно, так как нам понадобится именно R³.

Таким образом, объём шара будет равен:

Ответ: 22

Задача 4.

Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

Эта задача обратная предыдущей.

Формула объёма шара:

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

Так как объём шара известен, то мы можем выразить радиус и уже далее найти объём цилиндра:

Таким образом:

Ответ: 36

Задача 5.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Формула поверхности шара:

Формула поверхности цилиндра:

Упростим:

Так как площадь поверхности шара нам дана, то мы можем выразить радиус:

Далее подставим его в формулу площади поверхности цилиндра и вычислить её, таким образом:

Ответ: 166,5

Задача 6.

Куб вписан в шар радиус которого равен корню из трёх. Найдите объем куба.

Чтобы вычислить объём куба необходимо знать чему равно его ребро. Радиус шара равен половине диагонали куба:

*Диагональ куба равна диаметру шара.

Значит диагональ куба будет равна двум корням из трёх. Обозначим диагональ буквой d, а ребро куба буквой a. Нам известна формула выражающая взаимосвязь диагонали куба и его ребра: