Важная задача процесса обучения математике в школе – добиться глубокого и прочного усвоения учащимися теоретических знаний: математических понятий, утверждений об их свойства (аксиомы, теоремы), правил, законов; сформировать навыки и умения применения теоретических знаний на практике и овладение способами творческой деятельности, достичь глубокого осознания учащимися мировоззренческих и нравственно-этических целей. Следует различать понятия «процесс обучения» и «процесс получения образования». Обучения, в том числе и математики, обеспечивает образование лишь при условии его формирующего влияния на личность. Н. Г. Чернышевский считал, что для того чтобы человек был образованным в полном смысле слова, нужны три качества: обширные знания, привычка мыслить и благородство чувств.
На современном этапе развития школы в дидактике обучение трактуется как целенаправленный педагогический процесс организации и стимулирования активной учебно-познавательной деятельности учащихся для овладения научными знаниями, навыками – умениями, развитию творческих способностей, мировоззрения, нравственно-этических взглядов и убеждений. Процесс обучения - двусторонний процесс взаимодействия между тем, кто учит, и тем, кто учится. Напомним, что из курса педагогики закономерности процесса обучения, что объективно существуют, выступают как основные требования к практической организации учебного процесса. Они получили название дидактических принципов. Выделяется восемь дидактических принцев:
1)научности и идейно-политехнической направленности;
2) проблемности;
3) наглядности;
4) активности и сознательности;
5) доступности;
6) систематичности и последовательности;
7) прочности;
8) единства образования, развития и воспитания.
Содержание этих принципов раскрыто в курсе педагогики. Учитывая, что основная цель общеобразовательной школы - всестороннее развитие личности, в процессе обучения математике необходимо опираться и на дидактические и психологические принципы развивающего обучения. Дидактические принципы развивающего обучения выдвинул в 60-70-х гг. Л. В. Занков. Он считал, что не любое обучение создает максимально благоприятные условия для развития учащихся. Нужен тщательный отбор содержания, методов, организационных форм и средств обучения, чтобы обеспечить эти условия. При этом надо учитывать такие важные дидактические принципы развивающего обучения. Ведущая роль теоретических знаний в процессе обучения математике это значит, что нельзя начинать формировать умения, навыки применения математических знаний до тех пор, пока учащиеся не усвоили основные понятия, утверждения, правила, законы, методы. Обучение быстрыми темпами. В опыте учителей-новаторов (В. Ф. Шаталов, Р. Г. Хазанкин и ш.) реализация этого принципа сводится к изучению основного теоретического материала быстрыми темпами в начале ознакомления с темой, осуществления действенного контроля его усвоения и освобождение этим самым времени для решения задач. В процессе решения задач теоретический материал повторяется, усиливается, закрепляется.
Обучение на высоком, но доступном уровне сложности. Так же, как спортсмены развивают свои физические возможности на упражнениях высокой сложности, ученики должны развивать мышление, интеллект на учебных задачах высокого уровня сложности. Этого принципа касаются введены еще в 30-х гг. XX ст. психологом Л. С. Выготским понятия зоны актуального и зоны ближайшего развития учащихся. Ученик работает в учебном материале. Однако, как отмечал Л. С. Выготский, надо работать на завтрашний день ученика, то есть работать в зоне его ближайшего развития. Это означает, что ученик должен работать над учебными зонами актуального развития тогда, когда решает учебные задачи в пределах усвоенного им задачами, если он еще не в состоянии решить самостоятельно, но при незначительной помощи учителя или своих товарищей он таким задачам дает совет. Вместе с тем объективным фактом является то, что разные ученики имеют разные зоны актуального ближайшего развития. Именно поэтому в условиях классно-урочной системы надо осуществлять уровневую дифференциацию, использовать групповые и индивидуальные формы работы, выделяя группы учащихся, имеющие примерно одинаковый уровень общего развития, обученности, темпа продвижения в обучении, интереса к математике. Осознание всеми учащимися процесса обучения. Обеспечение этого принципа требует от учителя работы с теми, кто не успевает, выяснение причин этого и организации своевременной педагогической поддержки таких учащихся.
Систематическая работа учителя над общим развитием всех учащихся, в том числе и самых слабых. В процессе обучения математике прежде всего предполагается развитие мышления, овладение учащимися общими умственными действиями и приемами умственной деятельности. Практика исследования психологов свидетельствует о том, что основной причиной того, что ученики не успевают по математике, является, прежде всего, несформованность действий анализа, синтеза, сравнения, абстрагирования, обобщения.
Психологические принципы развивающего обучения:
1. Систематическое развитие трех основных видов мышления: наглядно-действенное (или практическое), наглядно-образное и абстрактно-теоретическое.
2. Проблемность обучения. Ученик лишь тогда включается в познавательный процесс, проявляет мыслительную активность, когда сталкивается с проблемами (вопросами / задачами), которые ему надо решить.
3.Индивидуализация и дифференциация учебно-воспитательного процесса.
4. Целенаправленное формирование алгоритмических и эвристических приемов умственной деятельности.
5. Систематическое развитие мнемической деятельности (то есть развитие памяти) для обеспечения фонда действенных знаний.
По мнению педагога и психолога П. П. Блонского, пустая голова не рассуждает. Психологи отмечают, что хорошо развитая память – условие развитого интеллекта. В процессе обучения математике следует добиваться запоминания основных определений, утверждений, алгоритмов решения ключевых задач, вооружать учащихся специальными мнемическими приемами, которые облегчают запоминание учебного материала. Важной является также специальная установка учителя на то, что надо изучить, перевести в долгосрочную память, какой материал изучается для ознакомления и не требует заучивания. Отсутствие такого ориентирования приводит либо к ненужной перегрузке памяти учащихся и добросовестного отношения их к учебе, или к игнорированию того, что надо выучить, запомнить.
Слово «метод» греческого происхождения и в переводе означает путь исследования, способ познания.
Под методом обучения в дидактике понимают способы обучающей работы учителя и организации учебно-познавательной деятельности учащихся по решению различных дидактических задач, направленных на овладение материалом, который изучается. Кроме термина «метод обучения» в дидактике используется термин «прием обучения», под которым чаще всего понимают составную часть или отдельная сторона метода.
В педагогике существует различная классификация методов обучения в зависимости от выбора основания классификации, а именно:
1) по источнику получения знаний (словесные, наглядные, практические),
2) по способам организации учебной деятельности учащихся (методы получения новых знаний, методы формирования умений и навыков и применения знаний на практике, методы проверки и оценки знаний, умений и навыков),
3) по характеру учебно-познавательной деятельности учащихся:
а) объяснительно-иллюстративный (рассказ, лекция, объяснение, работа с учебником, демонстрации и другие.);
б) репродуктивный (воспроизведение знаний и способов действий, деятельность по алгоритму, программе);
в) проблемное изложение;
г) частично-поисковый, или эвристическая беседа;
д) исследовательский метод.
Последние три метода используют во время проблемного обучения как дидактической системы. Проиллюстрируем применение методов обучения математике по характеру учебно-познавательной деятельности учащихся.
Объяснительно-иллюстративный. Этим методом пользуются, вводя математические понятия, изучая аксиомы, теоремы и способы решения различных классов задач.
Репродуктивный используют при объяснении нового материала, проверки домашнего задания (ученики воспроизводят решения задач, формулировки и доказательства теорем, определение математических понятий, правила и тому подобное). На уроках, где формируются умения и навыки решения примеров, задач, применения репродуктивного метода проявляется в деятельности учащихся при решении упражнений и задач по образцу, который дан учителем или описаны в учебнике, в деятельности по определенному алгоритму. При этом деятельность по образцу должна проводиться не по указанию «делай то, что делаю я», а по совету «делай так, как делаю я». Недостатком двух названных методов является то, что они мало способствуют развитию продуктивного мышления, познавательной активности и самостоятельности учащихся. Вместе с тем недооценка репродуктивной деятельности учащихся приводит к тому, что у учащихся не обеспечивается фонд знаний, который является необходимым условием для возможностей организации самостоятельной познавательной деятельности, развития творческого мышления и продуктивной деятельности.
Следующие три методы проблемного обучения направлены на устранение указанных выше недостатков.
Проблемное изложение как метод обучения математики состоит в том, что, объясняя учебный материал, учитель сам выдвигает проблемы и, конечно, как правило, сам их решает. Однако постановка проблем усиливает внимание учащихся, активизирует процесс восприятия и осознания того, что объясняет учитель.
Частично-поисковый метод (его иногда называют эвристической беседой) заключается в том, что учитель заранее готовит систему вопросов, отвечая на которые учащиеся самостоятельно формулируют определение понятия, «открывают» доказательства теоремы, находят способ решения задачи.
Исследовательский метод предполагает самостоятельный поиск решения познавательной задачи. Причем может оказаться потребность, чтобы проблему сформулировал сам ученик или и формулирует учитель, но ученики решают самостоятельно.
Метод целесообразных задач предложил в конце XIX века С. И. Шохор-Троцкий. Принадлежит он фактически к методам проблемного обучения. Обучение математике в соответствии с этим методом осуществляется с помощью задач. Из задач начинается изучение любой темы, что, естественно, обеспечивает мотивацию изучения теоретического материала. Изучая теоретический материал темы, ученики преимущественно решают задачи. Теоремы в геометрии доказывают лишь те, которые для учеников не являются очевидными, но и не требуют слишком тонких соображений. Практика показала, что значение метода целесообразных задач нельзя преувеличивать и соблюдать его формально. Во-первых, изучение не каждой темы целесообразно начинать с решения задач, во-вторых, нельзя недооценивать роль теоретических знаний.
Суть абстрактно-дедуктивного метода обучения заключается в том, что во время изучения нового материала учитель сразу сам сообщает определения понятий, что вводится, а потом приводит конкретные примеры объектов, относящихся к понятиям. Формулируется и доказывается теорема, и лишь после этого рассматриваются конкретные примеры применения нового теоретического материала.
Конкретно-индуктивный метод обучения противоположный абстрактно-дедуктивном методе. Во время обучения этим методом объяснения нового материала начинается с рассмотрения примеров. Используя примеры, учащиеся имеют возможность выделить существенные признаки понятия, что вводится. Это помогает самостоятельно или с помощью учителя сформулировать определение понятия. Рисунок теореме позволит учащимся выявить свойства изображенной фигуры и самостоятельно или с помощью учителя сформулировать теорему. Наряду с устным изложением теоретических знаний, объяснение учителем способов решения различных типов задач и коллективным их развязыванием значительное место в процессе обучения математике занимает самостоятельная работа учеников. К самостоятельной работе можно отнести самостоятельное изучение учащимися учебного материала на уроке или во время выполнения домашнего задания за учебниками, учебными пособиями и научно-популярной литературой, самостоятельное доказательство теорем и решение задач, работу в тетрадях с печатной основой, программируемое обучение с помощью программированных пособий и персональных компьютеров.
Самостоятельная работа учащихся с учебником, учебными пособиями, научно-популярной литературой - важный для самообразования прием учебной работы, которому необходимо специально или целенаправленно обучать учащихся как в основной, так и в старшей школе.
Новые знания математики воспринимаются и усваиваются учащимися с определенными трудностями. Поэтому нужны советы учителя по работе над математическим текстом. Они могут иметь вид такого правила-ориентира.
1. Прочитай внимательно текст один или два раза, выдели главное в нем (новые понятия, утверждения, правила и тому подобное).
2. Составь план прочитанного.
3. Виды понятия, о которых говорится в тексте. Вспомни определение известных понятий и виды определение новых.
4. Выдели утверждения, которые доказываются в тексте. Выясни, что в них дано, что надо доказать. Выясни, из каких утверждений состоит доказывания, с помощью которых известных утверждений обосновывается они.
5. Попробуй ответить на контрольные вопросы. Сформулируй определение новых понятий и утверждения, которые доводились в тексте.
6. Не вдаваясь в текст, выполни нужные рисунки и воспроизведи прочитанное по плану.
В 5-6 классах надо на примере конкретного текста показать, как выделить главное в тексте и составить план. Только после этого можно предлагать ученикам выполнить такую работу самостоятельно.
Домашние задания - это один из видов самостоятельной работы, который обычно может включать в качестве закрепления изученного на уроке, так и самостоятельное изучение нового учебного материала по учебнику, решение упражнений и задач по образцу и имеющих определенную новизну и требуют от учащихся творческого подхода к применению знаний. Домашнее задание дает возможность сосредоточивать процесс осознания и запоминания главного в учебном материале.
Планируя изучение учебного материала на уроке, учитель должен предусматривать содержание и объем домашнего задания. На выполнение его ученик должен тратить не более 50 % времени, которое отводится на этот материал на уроке.
Нужна дифференциация домашнего задания по уровню способностей учащихся. Если учитель уверен в том, что более сильные учащиеся выполнят упражнения на уровне обязательных результатов обучения, он может освободить их от простых упражнений и задач и предложить им несколько более сложных. Наоборот, ученикам, которые слабо успевают, можно ограничиться упражнениями обязательных результатов, если они не хотят или еще не готовы к решению более сложных упражнений.
Во время повторения учебного материала иногда полезно предложить учащимся привести свои примеры вместо тех, что приводятся в учебнике.
Домашнее задание чаще всего предлагается на последних минутах урока, а иногда сразу после изучения нового материала и даже в начале урока. Если для решения задач и примеров недостаточно образцов, предлагаемых на уроке, учитель должен, задавая домашние задания, сделать необходимые указания, которые помогут учащимся справиться с решением упражнений и задач. Удобнее всего содержание домашнего задания записать на доске, отметив пункт учебника и номера упражнений. Стоит проследить, записали ли ученики домашнее задание в дневник.