Теорема Кантора. Следствие из теоремы Кантора

Лекция 8. Равномерная непрерывность функции

План

Понятие равномерной непрерывности функции

Связь между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции

Теорема Кантора. Следствие из теоремы Кантора

Понятие равномерной непрерывности функции

Пусть функция определена и непрерывна на множестве , (рис.1). Поскольку непрерывна в точке , то по определению непрерывности функции на основе определения предела функции по Коши, это будет означать, что , что для будет выполняться неравенство: . В точке функция также непрерывна, поэтому , что для будет выполняться неравенство: . Заметим, что для одинакового для разных точек и , в которых является непрерывной, окрестности этих точек в общем случае разные: , т.е. окрестность зависит не только от , а и от точки , в которой рассматривается непрерывность. Таким образом, строгое определение непрерывности функции в точке будет выглядеть следующим образом: функция непрерывна в точке , если для , что для будет выполняться неравенство: .

Рис.1.

Возникает вопрос: можно ли для найти так, чтоб оно подходило для одновременно? В этом случае такое будет зависеть лишь от и не будет зависеть от , а потому может быть выбрано еще до выбора точки .

Определение 1. Говорят, что функция равномерно непрерывна на , если для (это зависит лишь от и не зависит от ), что для будет выполняться неравенство: .

Равномерная непрерывность означает, что во всех частях множества достаточна одна и та же близость двух значений аргумента, чтобы достичь заданной близости соответствующих значений функции.

Связь между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции

Замечание 1. Если функция равномерно непрерывна на , то она непрерывна в каждой точке этого множества. Обратное, вообще говоря, не верно.

Действительно, пусть функция равномерно непрерывна на , тогда для нее имеет место определение 1. Переобозначим: , тогда из определения 1 получим определение непрерывности функции в точке , которое базируется на определении предела функции по Коши.

Замечание 2. Не любая функция , непрерывная на множестве , будет равномерно непрерывной на этом множестве.

Определение 2. Функция не будет равномерно непрерывной на , если , что для , а .

Пример. Доказать, что функция не будет равномерно непрерывной на множестве .

Заметим, что функция является непрерывной на .

Возьмем . Понятно, что для обязательно найдется , что (действительно, для этого должно быть бóльшим ). Тогда, если , то для , а .

Таким образом, действительно не будет равномерно непрерывной на множестве .

Теорема Кантора. Следствие из теоремы Кантора

Теорема (Кантора). Пусть функция определена и непрерывна на , тогда она равномерно непрерывна на . (без доказательства).

Определение 3. Пусть функция определена и ограничена на , , . Разность называется колебанием функции на .

Следствие из теоремы Кантора. Пусть функция определена и непрерывна на . Тогда для сегмент можно разбить на части таким образом, чтобы колебание функции на каждой части было меньшим .

Доказательство. Поскольку непрерывна на , то по теореме Кантора равномерно непрерывна на , т.е. для , что для будет выполняться неравенство: . Разобьем на части точками так, чтобы длины всех полученных частичных сегментов были меньшими , т.е. . Возьмем произвольный частичный сегмент из множества . Пусть этот сегмент - . На этом сегменте возьмем произвольно две точки: . Поскольку , то , а потому из условия равномерной непрерывности имеем, что . Поскольку непрерывна на , то непрерывна на любом частичном сегменте . По второй теореме Вейерштрасса достигает на инфимума и супремума, т.е. , что