Лекция 8. Равномерная непрерывность функции
План
Понятие равномерной непрерывности функции
Связь между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции
Теорема Кантора. Следствие из теоремы Кантора
Понятие равномерной непрерывности функции
Пусть функция определена и непрерывна на множестве
,
(рис.1). Поскольку
непрерывна в точке
, то по определению непрерывности функции на основе определения предела функции по Коши, это будет означать, что
, что для
будет выполняться неравенство:
. В точке
функция
также непрерывна, поэтому
, что для
будет выполняться неравенство:
. Заметим, что для одинакового
для разных точек
и
, в которых
является непрерывной, окрестности этих точек в общем случае разные:
, т.е.
окрестность зависит не только от
, а и от точки
, в которой рассматривается непрерывность. Таким образом, строгое определение непрерывности функции
в точке
будет выглядеть следующим образом: функция
непрерывна в точке
, если для
, что для
будет выполняться неравенство:
.
Рис.1.
Возникает вопрос: можно ли для найти
так, чтоб оно подходило для
одновременно? В этом случае такое
будет зависеть лишь от
и не будет зависеть от
, а потому может быть выбрано еще до выбора точки
.
Определение 1. Говорят, что функция равномерно непрерывна на
, если для
(это
зависит лишь от
и не зависит от
), что для
будет выполняться неравенство:
.
Равномерная непрерывность означает, что во всех частях множества
достаточна одна и та же близость двух значений аргумента, чтобы достичь заданной близости соответствующих значений функции.
Связь между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции
|
Замечание 1. Если функция равномерно непрерывна на
, то она непрерывна в каждой точке этого множества. Обратное, вообще говоря, не верно.
Действительно, пусть функция равномерно непрерывна на
, тогда для нее имеет место определение 1. Переобозначим:
, тогда из определения 1 получим определение непрерывности функции
в точке
, которое базируется на определении предела функции по Коши.
Замечание 2. Не любая функция , непрерывная на множестве
, будет равномерно непрерывной на этом множестве.
Определение 2. Функция не будет равномерно непрерывной на
, если
, что для
, а
.
Пример. Доказать, что функция не будет равномерно непрерывной на множестве
.
Заметим, что функция является непрерывной на
.
Возьмем . Понятно, что для
обязательно найдется
, что
(действительно, для этого
должно быть бóльшим
). Тогда, если
, то для
, а
.
Таким образом, действительно не будет равномерно непрерывной на множестве
.
Теорема Кантора. Следствие из теоремы Кантора
Теорема (Кантора). Пусть функция определена и непрерывна на
, тогда она равномерно непрерывна на
. (без доказательства).
Определение 3. Пусть функция определена и ограничена на
,
,
. Разность
называется колебанием функции
на
.
Следствие из теоремы Кантора. Пусть функция определена и непрерывна на
. Тогда для
сегмент
можно разбить на части таким образом, чтобы колебание функции
на каждой части было меньшим
.
Доказательство. Поскольку непрерывна на
, то по теореме Кантора
равномерно непрерывна на
, т.е. для
, что для
будет выполняться неравенство:
. Разобьем
на части точками
так, чтобы длины всех полученных частичных сегментов
были меньшими
, т.е.
. Возьмем произвольный частичный сегмент из множества
. Пусть этот сегмент -
. На этом сегменте возьмем произвольно две точки:
. Поскольку
, то
, а потому из условия равномерной непрерывности
имеем, что
. Поскольку
непрерывна на
, то
непрерывна на любом частичном сегменте
. По второй теореме Вейерштрасса
достигает на
инфимума и супремума, т.е.
, что
|
.
Колебание функции на частичном сегменте
равняется:
,
что и нужно было доказать.
Вопросы
1. Понятие равномерной непрерывности функции. Чем равномерная непрерывность отличается от непрерывности функции?
2. Определение равномерно непрерывной на множестве функции.
3. Как связаны между собой непрерывность и равномерная непрерывность функции? Какое условие является более сильным? Объяснить.
4. Всегда ли из непрерывности функции на множестве вытекает ее равномерная непрерывность? В каком случае это происходит?
5. Теорема Кантора.
6. Определение колебания функции.
7. Чему равняется колебание функции на сегменте
?
8. Доказать следствие из теоремы Кантора.