Теоремы с доказательством.

1. Докажите критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.
2. Докажите критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
3. Докажите признак Вейерштрасса (мажорантный) равномерной сходимости функционального ряда.
4. Докажите теорему о непрерывности предела функциональной последовательности.
5. Докажите теорему о непрерывности суммы функционального ряда.
6. Докажите теорему о переходе к пределу под знаком производной для функциональной последовательности.
7. Докажите теорему о почленном дифференцировании функционального ряда.
8. Докажите теорему о переходе к пределу под знаком интеграла для функциональной последовательности.
9. Докажите теорему о почленном интегрировании функционального ряда.

Исследуйте функциональную последовательность на равномерную сходимость на указанном интервале.

1. , .
2. , x Î(0;1).
3. , x Î(0;1).
4. , x Î(0;1).
5. , x Î(0;1).
6. , x Î(-¥;+¥).
7. , x Î(0;1).
8. , .
9. , .
10. , .
11. , .
12. , .

Докажите, что функция непрерывна на указанном интервале:

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. Докажите, что функция непрерывна и имеет непрерывную производную на интервале .
8. Докажите, что функциональная последовательность сходится в каждой точке и в среднем на сегменте к функции .
9. Докажите, что функциональная последовательность сходится в каждой точке сегмента к функции и не сходится в среднем на сегменте к этой функции.
10. Докажите, что функциональная последовательность сходится в каждой точке сегмента к функции и не сходится в среднем на сегменте к этой функции.
11. Докажите, что функциональная последовательность сходится в каждой точке сегмента к функции и не сходится в среднем на сегменте к этой функции.
12. Докажите, что функциональная последовательность сходится в среднем на сегменте к функции .
13. Докажите, что функция непрерывна при .
14. Докажите, что функция непрерывна при .
15. Докажите, что функция непрерывна при .
16. Докажите, что функция непрерывна при .
17. Докажите, что функция непрерывна при .
18. Найдите сумму ряда , используя почленное дифференцирование ряда при .
19. Найдите сумму ряда , используя возможность почленного дифференцирования ряда , при .
20. Найдите сумму ряда , используя возможность почленного интегрирования ряда при .
21. Найдите сумму ряда , используя возможность почленного интегрирования ряда , при .
22. Найдите сумму ряда , используя возможность почленного дифференцирования ряда при .
23. Найдите сумму ряда , используя возможность почленного дифференцирования ряда при и равенство .
24. Найдите сумму ряда , используя возможность почленного дифференцирования ряда и равенство при .

ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

1. Сформулируйте определение несобственного интеграла I рода.
2. Сформулируйте определение несобственного интеграла II рода.
3. Сформулируйте критерий Коши сходимости несобственного интеграла I рода.
4. Сформулируйте отрицание к формулировке критерия Коши сходимости несобственного интеграла I рода.
5. Сформулируйте критерий Коши сходимости несобственного интеграла II рода.
6. Сформулируйте отрицание к формулировке критерия Коши сходимости несобственного интеграла II рода.
7. Сформулируйте признак сравнения для несобственных интегралов I рода.
8. Сформулируйте признак сравнения для несобственных интегралов II рода.
9. Сформулируйте признак Дирихле-Абеля сходимости несобственного интеграла I рода.
10. Сформулируйте определение равномерной сходимости несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
11. Сформулируйте отрицание к определению равномерной сходимости несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
12. Сформулируйте теорему о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра.
13. Сформулируйте теорему об интегрировании по параметру собственного интеграла, зависящего от параметра.
14. Сформулируйте теорему о дифференцировании по параметру собственного интеграла, зависящего от параметра.
15. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
16. Сформулируйте критерий неравномерной сходимости несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра (отрицание к формулировке критерия Коши).
17. Сформулируйте признак Вейерштрасса (мажорантный) равномерной сходимости несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
18. Сформулируйте признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
19. Сформулируйте теорему о непрерывности несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
20. Сформулируйте теорему об интегрировании по параметру несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
21. Сформулируйте теорему о дифференцировании по параметру несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
22. Запишите формулу для бета-функции в виде несобственного интеграла. Укажите область сходимости.
23. Запишите формулу для гамма-функции в виде несобственного интеграла. Укажите область сходимости.