Метод неопределенных коэффициентов.
1. Разложим знаменатель на множители:
2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида 
соотв. сумма из n простейших дробей вида:
с неопределенным коэф. A1 … n
Каждому множителю вида 
соот. сумма из m простейших дробей вида: 
с неопределенным коэф. B1 C1…
3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.
4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.
Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на отрезке [a, b].
1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек х0, х1... хn, где
а = х0 < х1< х2 <.... < хn-1 < хn = b
2) обозначим через D хi = хi – хi-1, i=1, 2, …, n
Диаметром разбиения называется
D = 
- длина максимального из отрезков разбиения.
На каждом отрезке 
, i = 1, 2, …, n, произвольно выберем 
и составим сумму
(13)
которая называется интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей
данному разбиению отрезка [а, b] и выбору точек 
.
Теперь выясним геометрический смысл интегральных сумм Римана.
Пусть f (х) непрерывная на отрезке [а, b] функция, причем f (х) 
0, 
.
Произведение f()Dхi равно заштрихованной площади прямоугольника с основанием D х= хi - хi-1 и высотой f ().
Тогда сумма
представляет собой сумму площадей n прямоугольников, с основаниями D хi и высотами f (), i = 1, 2…, n. Здесь х0=а, хn = b.
Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14), то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный трапеции.
Свойства определенного интеграла.
Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.
1. Пусть сущ. определенный интеграл 
сущ. определенный интеграл 
и справедливо равенство
2. 
Док-во:
3. Свойство линейности определенного интеграла:
1. Пустьф-ии 
интегрируемы на 
***
2. Пусть 
, то для любой произвольной постоянной 
- справедлива формула 
4. Аддитивность определенного интеграла:
Пусть ф-ия 
интегрируема на большем их трех помежутков 
, тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:
Свойство монотонности.
1. Пусть ф-ия 
Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным.
2. Пусть ф-ия 
на 
Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на 
Df Две ф-ии 
, заданные на 
эквивалентны и интегрируемы на 
(они не совпадают а интегралы совпадают).
Д-во:
на 
4. Пусть 
на 
, то 
5. Пусть 
6. Пусть 
25.Интеграл с переменным верхним пределом.
Теорема о его непрерывности.
Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция
непрерывна на этом отрезке.
Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆хÎ[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:
a x0 x х+∆х b
Получим:
По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем
…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства:
(на этом следствие из теоремы закончилось)
получаем:
Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.
26.Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):
(в качестве числа х0 взято число а).
В этом тождестве положим х=а и получим,
Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:
Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:
Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:
27.Замена переменных в определенном интеграле.
Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)
Справедливо при условиях:
1. φ(α) = а, φ(β) = b,
2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],
3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].
Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница
Получаем
(по условию 1)
правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.
28.Формула интегрирования по частям определенного интеграла.
Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.
(2)
Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2+Вх+С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1=Аh2-Вh+С; у2=С; у3=Аh2+Вh+С, откуда следует, что
2Аh2+2С=у1+у3; С=у2 (3)
Учитывая соотношение (3), имеем
Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2p равных отрезков точками a=x0<x1<x2<...<x2k<x2k+1<x2k+2<...<x2n-1<x2n=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2n соответствующих частей точками М0, М1 , М2 ,..., М2k, М2k+1, М2k+2,..., М2n-2, М2n-1, М2n (рис. 3).
Через каждую тройку точек
М0 М1 М2 ,..., М2k М2k+1 М2k+2,..., М2n-2 М2n-1 М2n
проведем кривую вида у=Ах2+Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k, x2k+2], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]
где yk=f(xk), k=0, 1, 2,...,2n. Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу
или в развернутом виде
Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.
30.Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула трапеций.
Пусть требуется вычислить интеграл 
, где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³ 0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0<x1<x2<...<xk-1<xk<...<xn=b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.
Где f(xk-1) и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/n - их высоты.
Таким образом, получена приближенная формула
которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.
31.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. +++32.Несобственные интегралы второго ряда.
Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +Ґ определяется равенством
Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся. Аналогично
и
Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают
Sn+1=Sn+an+1
Выражение
a1+a2+…+аn+an+1+… (1)
обозначается символом 
и называется числовым рядом.
Числа а1, а2,…,аn,… называются членами ряда, а число аn- n – м членом или общим членом ряда.
Простейшие свойства числовых рядов
1о. Сходимость ряда не нарушится, если произвольным образом изменить (переставить, добавить или отбросить) конечное число членов ряда.
2о. Сходящийся ряд можно почленно умножить на любой множитель 
, т.е. если ряд 
3о. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е. если даны ряды
то ряд
34.Необходимые условия сходимости ряда.
Теорема: Пусть числовой ряд
u1+u2+...+un+..., (1)
сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член un стремится к нулю Доказательство. Из условия теоремы имеем
Так как
Sn - Sn-1 = un
то
Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство
,
а он, однако не является сходящимся. Так гармонический ряд
,
для которого
,
расходится. Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если
равнялся бы нулю. Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы Sn, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд
,
расходится, так как
,
35.Сходимость гармонического ряда.
-------(нету)
и 
имеет место неравенство
(8)
n=1,2,…
Тогда:
1. Если сходится ряд 
, то сходится и ряд 
Тогда ряды 
и 
Причем, каждый член ряда 
не превосходит соответствующего члена ряда 
, то есть 
для всех 
. Тогда
· если сходится ряд 
, а лишь начиная с некоторого номера 
.
При использовании признаков сравнений чаще всего исследуемый ряд сравнивают с бесконечной геметрической пргрессией 
, которая сходится при 
и расходится при 
, или с рядом 
, который сходится при 
и расходится при 
.
38.Признак Даламбера.
Пусть l - предел отношения последующего члена un+1 ряда (1) к предидущему un при n®¥, т.е.
Тогда, если l < 1, то ряд l сходится, если l > 1, то ряд l расходится, Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым. Доказательство. Согласно определению предела переменной величины, равенство
означает, что, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства
где e - наперед заданное сколь угодно малое положительное число. Рассмотрим три случая: а) пусть l < 1. Тогда всегда можно взять e настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
l + e < 1
и, начиная с некоторого n, неравенство
где q = l + e, в силу чего (см. теорему 1) ряд (1) будет сходящимся; б) пусть l > 1. Выбираем e так, чтобы
e = l - 1 > 0
Тогда l - e = 1 и
т.е. ряд (1) расходится (см. теорему 1) в) пусть l = 1. Тогда ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся. В самом деле, для гармонического ряда
С другой стороны, ряд
сходится, а для него также
потому что
Таким образом, доказано, что если
то ряд (1) сходится; если l > 1, то ряд (1) расходится.
39.Интегральный признак Коши.
Пусть 
- непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при 
. Тогда ряд 
и интеграл 
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Доказательство. Ввиду монотонности при всех 
выполняются неравенства 
. Интегрируя, получаем 
. Тогда 
, или 
. Поэтому если 
. Тогда 
и 
, 
ряд сходится.
Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда 
. Взяв произвольное 
выберем 
. Тогда 
. Значит, 
. (1)
Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:
. (2)
Определение 1. Ряд (1) называется условно сходящимся, если сам ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин, расходится.
Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сам ряд (1) сходится и ряд из абсолютных величин тоже сходится.
Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, сходится, то и сам ряд сходится (из абсолютной сходимости следует условная).
41.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Признак Лейбница.
Пусть дан знакочередующийся ряд
(монотонно стремится к 0), тогда А сходится.
Доказательство.
Т.к. 
.
, 
, то есть последовательность частичных сумм 
убывает, а 
возрастает.
Каждая из последовательностей 
ограничена и 
.
Следовательно, 
.
Заметим, что:
.
42.Степенные ряды. Признак Абеля.
Признак Абеля.
Пусть дан ряд:
: 
Доказательство.
Доказано.
43.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
44.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда.