Задачи для самостоятельного решения

Занятия 1, 2. Комплексные числа и действия над ними

Комплексными числами называются объекты вида , где – действительные числа, для которых

Комплексные числа складываются, вычитаются и умножаются по законам обычной алгебры с учетом того, что . Символ называется мнимой единицей.

Приняты следующие обозначения:

– множество всех комплексных чисел;

– действительная часть числа ;

– мнимая часть числа ;

– число, сопряженное с числом .

Геометрически число изображается как точка на координатной плоскости Oxy или как вектор (рис.1).

Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается . Модуль числа определяется формулой

и обладает всеми свойствами модуля действительного числа.

Любой угол между осью и вектором называется аргументом числа и обозначается , а угол из промежутка называется главным значением аргумента и обозначается .

Функции и для не определены.

В зависимости от того, в какой четверти расположено число (рис. 2), главное значение определяется однозначно формулой

в отличие от для каждого принимает бесконечно много значений, т. е. представляет собой бесконечное множество действительных чисел

Ради удобства пишут:

= .

В зависимости от решаемой задачи применяются различные формы записи комплексного числа.

Алгебраическая форма:

Показательная форма: ,

где и - одно из значений . Можно взять, например, . Функция обладает всеми свойствами показательной функции.

Тригонометрическая форма:

где и имеют тот же смысл, что и в показательной форме.

Переход от показательной формы к тригонометрической и обратный переход осуществляются на основе формулы Эйлера:

Следует учесть, что при сложении и вычитании комплексных чисел удобно пользоваться алгебраической формой, а при умножении, делении и, особенно, при возведении в большие степени удобно пользоваться показательной формой.

Если ,то

Если то и определяются по формулам Муавра:

Функция для каждого значения принимает различных значений, т.е. представляет собой множество из различных комплексных чисел

Множество , есть множество решений уравнений

Множество решений квадратного уравнения

с комплексными коэффициентами дается формулой

где под понимается одно из значений квадратного корня из комплексного числа.

Теоретические упражнения

1. Пользуясь определением модуля, доказать, что модуль комплексного числа удовлетворяет неравенствам треугольника:

;

2. Доказать, что операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

а) коммутативности:

, ;

б) ассоциативности:

, ;

в) дистрибутивности умножения относительно сложения:

3. Доказать следующие свойства сопряженных комплексных чисел:

а) ; ; б) ;

в) ; .

4. Основываясь на результатах предыдущей задачи вывести формулы для действительной и мнимой частей комплексного числа :

; .

Задачи

1. Найти следующих комплексных чисел:

а) ,	д) = 8,
б) = ,	е) = -3,
в) = ,	ж) = .
г) = ,

Решение:

а)

Изобразим число на комплексной плоскости (см. рис.1). Из рис. 3 видим, что угол между осью и вектором , принадлежащий промежутку , будет равен .

Значит, ,

б) Умножим числитель и знаменатель числа на сопряженное к знаменателю, т. е. на , получим:

Тогда

в) Сравнивая число с показательной формой комплексного числа, видим, что 3 есть , а одно из значений аргумента. Так как , то

Согласно формуле Эйлера

Значит,

г)

д), е), ж) = 8, = , = .

2. Записать следующие комплексные числа в показательной и тригонометрической формах:

а) , б) , в) , г) .

Решение:

а) так как , = , то взяв и одно из значений аргумента , получим число в показательной форме: . Применяя формулу Эйлера, получим Значит, тригонометрическая форма ;

б) Так как - одно из значений аргумента, то

;

в) Так как , то

г) Так как

3. Вычислить .

Решение.Запишем число в показательной форме. Так как (см. рис.5), то

Тогда по формуле Муавра

4. Найти все значения следующих корней:

а) , б) .

Решение:

а) Представим число в тригонометрической форме. Для этого вычислим , . Тогда

По формуле Муавра получаем

При различных получим следующие значения корня:

б) Так как число в тригонометрической форме имеет запись , то по формуле Муавра

при получим .

5. Решить уравнения:

а) б)

Решение:

а) Множество решений уравнения совпадает с множеством всевозможных различных значений .Так как , , то по формуле Муавра

Следовательно, корнями уравнения будут числа:

б) По формуле корней квадратного уравнения

где под понимается одно из значений квадратного корня. Так как то .

При получаем одно из значений квадратного корня

Значит, , т.е. уравнение имеет корни

6. Изобразить на комплексной плоскости множество точек , заданное условиями

а) , в) ,

б) , г)

Решение:

а) Модуль есть расстояние между точками и . Следовательно, соотношению удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые равноудалены от точек и . Как известно, множество таких точек есть серединный перпендикуляр к отрезку с концами в точках и (рис.6).

б) Неравенству удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, расстояние от которых до точки меньше 2. Множество таких точек есть внутренность круга радиуса 2 с центром в точке (рис.7).

в) Неравенствам удовлетворяют те и только те точки , для которых угол между осью и вектором, имеющим начало в точке и конец в точке , больше и меньше , включая . Это есть угол с вершиной в точке , за исключением одной стороны (рис. 8).

г) Так как , а

то первое неравенство имеет вид , откуда . Этому неравенству удовлетворяют те и только те точки , которые лежат в полуплоскости, выше прямой , включая саму прямую. Второе неравенство определяет внешность окружности радиуса 2 с центром в точке . Значит, решением системы будет внешность этой окружности, расположенная выше прямой (рис.9).