1. Представить в алгебраической форме:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
2. Доказать:
а) 
; б) 
.
3. Установить, когда выполняется равенство
.
4. Решить уравнения: а) 
; б) 
.
5. Изобразить кривые, заданные следующими уравнениями и указать их направления:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
.
6. Доказать, что кривая, заданная уравнением
,
является гладкой.
7. Описать область 
, если ее граница определена параметрически уравнением:
а) 
; б) 
.
Ответы и указания
1. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3. Равенство выполняется, если 
, т.е. когда 
или 
;
4. а) 
; б) корней нет.
5. а) Окружность радиуса 
с центром в точке 
, ориентированная против часовой стрелки;
б) ветвь гиперболы 
, расположенная в третьем квадранте и направленная слева направо;
в) отрезок с концами в точках 
и 
, проходящий четырежды;
г) ветвь гиперболы 
, расположенная в нижней полуплоскости и направленная слева направо. Записать параметрическое уравнение в действительной форме и воспользоваться тождеством 
;
д) прямолинейный отрезок, идущий из точки 
в точку 
;
е) окружность единичного радиуса с центром в точке 
, обходимая один раз по часовой стрелке.
7. а) Внешность круга с центром в точке 
радиуса 
;
б) верхняя полуплоскость.
Занятия 5, 6. Условия Коши – Римана. Геометрический смысл производной
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки . Если предел
существует и не зависит от способа стремления точки 
к точке , то функция называется дифференцируемой в точке , а значение предела называется производной функции в точке .
Функция, дифференцируемая в некоторой окрестности точки, называется аналитической в этой точке, а функция, аналитическая в каждой точке области, называется аналитической в этой области.
Функция
аналитична в области тогда и только тогда, когда функции 
непрерывны в области и удовлетворяют там условиям Коши – Римана
Известно, что аналитическая функция бесконечно дифференцируема.
Производную 
можно вычислить по любой из следующих формул:
.
Формулы вычисления производных основных элементарных функций комплексной переменной аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций действительной переменной:
; 
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
Действительная функция 
называется гармонической в области, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа:
Две гармонические функции и 
, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, называются сопряженными.
Очевидно, если 
– сопряженные гармонические функции в области , то функция 
аналитична в области .
Действительная функция двух действительных переменных является действительной или мнимой частью аналитической функции тогда и только тогда, когда она является гармонической, для которой сопряженная с ней гармоническая функция находится из условий Коши – Римана.
Если функция 
аналитична в точке и 
, то все гладкие кривые, проходящие через точку , поворачиваются при отображении на один и тот же угол 
(угол поворота) и линейное растяжение по всем направлениям, выходящим из точки , одинаково и равно 
(коэффициент линейного растяжения).