П.4 Тригонометрическая форма записи КЧ

Комплексные числа

П.1 Понятие комплексного числа

· Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел: .

Действительное число геометрически отождествляется с координатой точки оси.
Комплексное число геометрически отождествляется с координатами точки на плоскости.

Множество действительных чисел (ось ОХ) является подмножеством множества комплексных чисел (плоскость ХОУ): .

· Ось абсцисс ОХ −назовём действительной осью координатной плоскости.

При этом КЧ отождествляется с действительным числом : .

· Ось ординат ОУ − назовём мнимой осью координатной плоскости.

На оси ординат(мнимая ось)лежат чисто мнимые КЧ .

· Число называется действительной частью КЧ : ,

− мнимой частью КЧ : .

· Комплексные числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части.

· Комплексные числа называются сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые части противоположны по знаку:

, .

Геометрически пара сопряжённых КЧ симметрична относительно действительной оси ОХ.

 

 

Введём правила выполнения арифметических операций:

Ι. Сложение КЧ: .

Эта операция не меняет действительное число:

.

ΙΙ. Произведение КЧ: .

Эта операция не меняет действительное число:

.

Следствие. .

► . ■

Свойства

1. Операция сложения КЧ подчиняется коммутативному и ассоциативному законам.

2. .

3. Операция произведения КЧ подчиняется коммутативному и ассоциативному и дистрибутивному относительно сложения законам.

4. .

· КЧ называется противоположным к числу КЧ , т. к. в сумме с ним даёт нуль.

· КЧ называется обратным к числу КЧ , т. к. в произведении с ним даёт единицу.

ΙΙΙ. Вычитание КЧ: .

IV. Деление КЧ:

.

П.2 Мнимая и действительная единицы

Оси абсцисс ОХ (действительной оси) принадлежит действительная единица:

.

· Ось ординат ОУ (мнимая ось) содержит единицу, которую назовём мнимой единицей: .

.

.

Пример. Решить уравнение .

Решение. .

Теорема. (основная теорема алгебры)

Каждый многочлен степени n с действительными или комплексными коэффициентами имеет n действительных или комплексных корней, среди которых могут быть и совпадающие.

Пример. Решить уравнение .

Решение. − многочлен четвертой степени имеет четыре корня.

П.3 Алгебраическая форма записи КЧ

Рассмотрим умножение действительного числа на мнимую единицу:

.

Тогда преобразуем .

Получили алгебраическую форму записи КЧ: ,

где и – действительные числа.

− алгебраическая форма записи сопряжённого КЧ.

Алгебраическая форма записи КЧ позволяет упростить применение формул арифметических действий над КЧ:

1. Сложение КЧ	.
2. вычитание КЧ	.
3. Умножение КЧ	.
4. Деление КЧ	.
* Обратное КЧ	.

Например. Дано КЧ . Найти .

Решение.

Найдём частное комплексных чисел:

В итоге имеем:

Арифметическая форма КЧ позволяет доказать свойства сопряжения КЧ:

1. . 2. . 3. .

4. . 5.

п.4 Тригонометрическая форма записи КЧ

Всякое комплексное число можно изобразить точкой на плоскости, положение которой может определяться полярными координатами: длиной радиус-вектора = , который с положительным направлением оси ОХ образует угол .

· Длина вектора называется модулем КЧ

и обозначается .

· Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом КЧ и обозначается .

Аргумент КЧ есть величина многозначная: ( – целое),

где – главное значение аргумента, .

Учитывая формулы связи полярных и декартовых координат точки плоскости: комплексное число можно представить в виде:

.

Т. о. получили тригонометрическую форму записи КЧ: .

Очевидно, что комплексно-сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы:

Например. Число представим в тригонометрическом виде.

Тогда .

Тригонометрическая форма записи КЧ позволяет упростить применение формул арифметических действий над КЧ:

1. Умножение КЧ	.
* Возведение в степень	– формула Муавра. Абрахам де Муавр (1667-1754) – английский математик
2. Деление КЧ	.
3. Извлечение корня	Для любого КЧ корень -ой степени имеет ровно различных значений: , где Корни -ой степени из КЧ являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиуса .

Доказательства.

1)

. ■

2)

. ■

3) Пусть .

Возводя в степень , получим: .

Отсюда:

Или: где ,

Т. о. .

Учитывая периодичность функций синуса и косинуса, корень n -ой степени из комплексного числа имеет n различных значений, т. е. при . ■

Пример 1. . Найти , .

Решение.

1) Учитывая пример стр.5, имеем .

Для нахождения воспользуемся формулой Муавра:

2)

Посмотрим на чертеже расположение найденных корней:

Корни являются вершинами правильного 3-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиуса .

Замечания.

1) Равенство , записанное в виде: , представляет собой уравнение окружности с центром в начале координат и радиуса . Тогда:

ü уравнение или − геометрическое место точек , лежащих на окружности с центром в точке и радиуса ;

ü неравенство − геометрическое место внутренних точек круга с центром в точке и радиуса .

2) Равенство представляет собой формулу для вычисления расстояния между точками и . Тогда:

ü уравнение задаёт равенство расстояний от точки до точек и , что определяет ГМТ , принадлежащих серединному перпендикуляру к отрезку, соединяющему точки и ;

ü неравенство определяет ГМТ , принадлежащих полуплоскости с граничной прямой − серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки и , и содержащей точку .