Численная модель полета ЛА




Полученная система уравнений представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, общий вид которой может быть представлен следующим образом:

, где x=x(t) – неизвестная функция.

Решением дифференциального уравнения является поиск такой функции x=x(t), при подстановке которой в это уравнение получается тождество.

При решении подобного рода уравнений в первую очередь необходимо уравнения высших порядков привести к системе уравнений первого порядка. Например, уравнение второго порядка

можно переписать в следующем виде

,

где z – новая зависимая переменная, определяемая вторым уравнением. Теперь мы имеем систему уравнений относительно y и z. Решение этой системы дает функцию и ее производную.

В данном случае, переходя от системы уравнений (3) к системе уравнений (9) мы использовали зависимости (7) и (8), поэтому итоговая система уравнений (9) является системой уравнений первого порядка.

В качестве примера рассмотрим приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера:

. (10)

Заменяя производную в окрестности каждого i -го узла сетки разностным отношением, приходим к следующему виду уравнения:

. (11)

Последовательные значения определяются по формуле

.

Метод Эйлера имеет очень простую геометрическую интерпретацию. Искомая интегральная кривая у(х) на отрезке [а; b] приближается к ломаной (рисунок 2), наклон которой на каждом элементарном участке i, хi+1] определяется наклоном интегральной кривой уравнения в точке i, уi).

Рисунок 2 – Графическая интерпретация метода Эйлера

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, т.е. построения таблицы приближенных значений функции у=у(х), удовлетворяющей заданным начальным условиям, где , - шаг таблицы.

x x1 x2 x3 xn
y y1 y2 y3 yn

Приближенно можно считать, что правая часть в остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближенной формуле

;

.

Таким образом, если x=x1, то

;

если x=x2, то

;

если x=xi+1, то

;

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул

, (12)

где i=0, 1, 2,…n.

Геометрически эти формулы означают, что на отрезке i; хi+1] интегральная кривая заменяется отрезком касательной к кривой (рисунок 3).

а – интегральная кривая б – касательная к кривой

Рисунок 3 – Графическая интерпретация метода Эйлера

Применяя метод Эйлера к системе уравнений (9), получим

.

Далее, используя зависимость (7) можем найти значения координат ЛА в каждый момент времени и построить график траектории движения ЛА при заданных начальных условиях

.

Метод Эйлера при достаточно малых величинах шага дает решение с большой точностью, так как погрешность на каждом шаге расчета.

 


ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: