Контрольная работа № 8 для ЗРФ

Краткая теория и методические указания для решения:

1. Дифференциальные уравнения I порядка: или или . Общее решение – это совокупность решений или , зависящих от произвольной постоянной С.

Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка:

1.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Алгоритм решения:

а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ;

в) Разделим переменные, чтобы слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ;

г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение

.

1.2 Однородные дифференциальные уравнения I порядка , где имеет вид или может быть приведена в виду , тогда уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Получаем и уравнение принимает вид , т.е. и . Решив это уравнение, получим t как функцию от х. Подставив , получим решение уравнения в неявном виде.

Примечание. Дроби и приводятся к виду делением числителя и знаменателя на одно и то же выражение: на , на .

1.3 Линейные дифференциальные уравнения I порядка ( и у входят в первой степени). Методом Бернулли заменой приводим к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными относительно и затем . . Подставим в уравнение: или (1.2.1). Определим таким образом: . Решив это уравнение, одно частное решение подставим в (1.2.1). Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть .

1.4 Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение может быть записано в дифференциальной форме:

1.4.1

Это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если

, т.е. является полным дифференциалом функ-

ции . При этом , 1.4.2

Для того, чтобы выражение , необходимо и доста-

точно, чтобы выполнялось условие

1.4.3 .

Тогда уравнение 1.4.1 имеет вид .

1.4.4 Общее решение этого уравнения ( - произвольная постоянная).

1.4.5 Метод нахождения функции .

Интегрируем равенство (1.4.2) по при фиксированном

(при этом произвольная постоянная может зависеть от ). Получим

1.4.6 . По равенству 1.4.2 , тогда

, откуда

Благодаря условию 1.4.3 в правой части этого уравнения будет только функция

от .

Находим интегрированием по , подставляем в 1.4.6 и в 1.4.4.

2. Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупность решений

вида , где и – произвольные постоянные.

2.1 Дифференциальные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. , и – постоянные числа. Если , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка

Составим и решим характеристическое уравнение . Дискриминант .

Могут быть 3 случая:

а) , два разных действительных корня и , ;

б) , два равных действительных корня: = , ;

в) , два комплексных корня: и , – мнимая единица, , – действительная, – мнимая часть комплексного числа; . Если , .

2.1.2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов в зависимости от вида правой части уравнения .

и – корни характеристического уравнения.

2.1.2.1. (а и – данные числа)

а) , , ;

б) , или .

2.1.2.2.

а) , , ;

б) , или .

в) .

2.1.2.3. (а, , – данные числа, а или может быть равно 0).

а) , , ;

б) или .

Коэффициенты M и N находят методом неопределённых коэффициентов. Подставим , , в уравнение 2.1. получим . Приравняем коэффициенты в левой и правой части при одинаковых степенях х, или при , или при , или при , или при , или при , или при и при .

2.1.3. Частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Выпишем общее решение неоднородного уравнения: , найдем . Подставим начальные условия в выражение для и , получим систему двух уравнений относительно и . Найдя и , подставим их значения в решение у.