Контрольная работа содержит 5 контрольных заданий.
Дадим 2 примера контрольного задания №1.
Пример 1: Исследовать сходимость числового ряда 
Решение. Применим признак сравнения 1.4.1.4)
. Возьмем 
, тогда 
. Рассмотрим ряд 
. Применим интегральный признак 1.4.2) 
, 
– монотонно убывает. 
. Интеграл сходится, следовательно по 1.4.2), ряд 
сходится, а, значит, ряд сходится по 1.4.1.4)
Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда 
.
Решение. Применим признак Даламбера 1.7) 
; 
.
По определению 
; 
; 
.
q = 0, q < 1 следовательно, ряд сходится.
Пример контрольного задания № 2. Найти интервал сходимости степенного ряда 
; 
Решение. Применим план нахождения интервала сходимости 2.3)
1. Составим ряд из абсолютных величин членов ряда
, 
.
2. Применим признак Даламбера к полученному ряду
, 
.
Ряд сходится при 
, т.е. 
, или 
. Радиус сходимости 
.
3. Исследуем сходимость числового ряда на границах интервала при 
и 
.
а) Получим числовой ряд 
. Общий член этого ряда 
. Применим необходимый признак сходимости 1.3.1). 
Þ ряд 
расходится.
б) . Получим числовой ряд 
. Это знакочередующийся ряд. Абсолютная величина общего члена ряда 
. По необходимому признаку сходимости 1.3.1) ряд 
расходится.
Итак, на границах интервала исходный ряд расходится.
Вывод. Интервал сходимости степенного ряда .
Пример контрольного задания № 3. Вычислить определенный интеграл 
, 
, с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав почленно.
Решение: Разложим 
в ряд по таблице 3.2) для 
.
;
Мы получили знакочередующийся ряд. Если ограничиться четырьмя членами, то по следствию 1.5.2) из признака Лейбница остаток ряда 
, т.е. точность 
.
Итак, 
с точностью 
.
Пример контрольного задания № 4. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения 
дифференциального уравнения 
, удовлетворяющего начальному условию 
.
Ищем решение в виде ряда Маклорена в окрестности 
Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая у как функцию от х.
, 
и т.д. Возьмем в самом уравнении и во всех равенствах 
и принимая во внимание , найдем 
, 
, 
, подставив эти коэффициенты в ряд Маклорена, получим решение 
Пример контрольного задания № 5.
Разложить 
в ряд Фурье в интервале 
.
;
;
;
.
Тогда 
.
Задания к контрольной работе № 10 для ЗРФ
1. Исследовать сходимость числового ряда 
.
2. Найти интервал сходимости степенного ряда 
.
3. Вычислить определенный интеграл , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем проинтегрировав его почленно.
4. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения 
, удовлетворяющего начальному условию .
5. Разложить данную функцию 
в ряд Фурье в интервале 
.
| № вар-та | Задания |
1)  ; 2)  ; 3)  ,  ; 4)  ; 5) 
| |
1)  ; 2)  ; 3)  , ; 4)  ; 5) 
| |
1)  ; 2)  ; 3)  ,  ; 4)  ; 5) 
| |
1)  ; 2)  ; 3)  ,  ; 4)  ; 5) 
| |
1)  ; 2)  ; 3)  ,  ; 4)  ; 5) 
| |
1)  ; 2)  ; 3)  , ; 4)  ; 5) 
| |
1)  ; 2)  ; 3)  , ; 4)  ; 5) 
| |
1)  ; 2)  ; 3)  , ; 4)  ; 5) 
| |
1)  ; 2)  ; 3)  , ; 4)  ; 5) 
| |
1)  ; 2)  ; 3)  ,  ; 4)  ; 5) 
|
Литература
- Щипачев В.П. Высшая математика. М. Высшая школа. 1982-2003 гг.
- Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. М. Наука. 1975-1992 гг.
- Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. I часть. Айрис Пресс Рольф. М. 2000 г.
- Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа. 1980-2006 гг.
- Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высшая математика. 1964 г.
- Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Наука. 1970-2000 гг.
- Методические указания к контрольным работам кафедры ВМ и ММ РГГРУ.
Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книжки).