Практическая работа
Тема: Размещения, сочетания и перестановки
Краткий теоретический обзор:
Основная часть
Определение:и Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.
Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.
Комбинаторные задачи делятся на: задачи на перестановки,задачи на размещение, задачи на сочетание
Определение: Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Обозначение: n! = 1 · 2 · 3 ·... · n. Читается: «эн факториал».
Пример: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Кроме того: 0! = 1 .
Задачи на размещения
Имеется 5 книг и одна полка, такая что на ней вмещается лишь 3 книги.
Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
Это задача на размещение.
Решение: Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это можно сделать 5-ю способами.
Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых.
Таких пар может быть 5·4.
Третью книгу мы можем выбрать 3-мя способами.
Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.
Ответ: 60.
Определение: Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
Формула:
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов и в каждой выборке переставить их местами?»
Размещения Р!=n!
Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
Решение:
Ответ: 3024.
Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 7, 9?
Решение:
Ответ: 60.
Задачи на перестановки
Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?
Это задача на перестановки.
Решение: Выбираем одну из 3-х книг и ставим на первое место. Это можно сделать 3-мя способами.
Вторую книгу мы можем выбрать из 2-х оставшихся двумя способами, получаем 3·2 способов.
Третью книгу мы можем выбрать 1 способом.
Получится 3·2·1=6 способов.
Ответ: 6.
Определение: Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.
Формула
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»
Перестановки 
!= 
Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение: P8= 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320.
Ответ: 40320.
Задачи на сочетания
Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
Это задача на сочетания.
Решение: Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.
123 124 125 134 135 145
234 235 245
Ответ: 10.
Определение: Сочетанием из n элементов по k (k < n) называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы).
Формула:
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов из n?»
Сочетания 
!= 
Пример 1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Решение:
Ответ: 21.
Пример 2. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?
Решение:
Ответ: 792.