Цель работы.
Определить: 1) угловой коэффициент упругости спиральной пружины;2) моменты инерции твердых тел правильной геометрической формы методом крутильных колебаний. Установить зависимость момента инерции двух грузиков от их расстояния до оси вращения.
Оборудование. В комплект экспериментальной установки входят: вращающийся вал, на который устанавливают полый цилиндр или сплошной цилиндр, или диск, или шар, или стержень с подвижными грузами; динамометр; масштабная линейка; световой барьер со счетчиком; источник питания (рис.1).
 |  | ||
Рис. 1 Общий вид установки
-3-
Краткая теория
Закрепим твердое тело (шар или диск, или цилиндр и т.д.) на вращающийся вал и повернем его на угол j» 30°. Если систему предоставить самой себе, то возникнут свободные крутильные колебания под действием момента силы упругости спиральной пружины:
(1)
где G - угловой коэффициент упругости спиральной пружины.
В реальных условиях маятник под действием моментов сил трения в подшипниках и сопротивления воздуха совершает затухающие колебания. Суммарный момент сил трения зависит от угловой скорости
(2)
где k- коэффициент пропорциональности, зависящий от формы и размеров маятника и вязкости среды.
Основное уравнение динамики вращательного движения, с учетом уравнений (1) и (2), имеет вид
(3)
Разделив (3) на момент инерции и вводя коэффициент затухания 
и собственную частоту свободных колебаний
, (4)
запишем дифференциальное уравнение свободных колебаний в виде:
. (5)
Решением дифференциального уравнения (5) является зависимость углового перемещения от времени
(6)
где циклическая частота свободных колебаний равна
-4-
. (7)
При слабом затухании 
, а уравнения (6) и (7) примут вид:
, (8)
где Т - период свободных колебаний.
Совместное решение уравнений (4) и (8) позволяет определить момент инерции твердого тела по его периоду крутильных колебаний:
(9)
Выполнение работы
Задание 1. Определение углового коэффициента упругости пружины.
1. Для определения углового коэффициента упругости закрепите стержень на вращающемся валу (рис.1). Кольцо динамометра оденьте на стержень на расстоянии r от оси вращения (это плечо силы). Линейкой измерьте плечо силы. Под действием момента силы М=Fr поверните стержень на угол j. При измерении силы динамометр должен находится под прямым углом к плечу рычага.
2. Измерьте силу при помощи динамометра для углов поворота стержня p, 2p, 3p, 4p. Исходя из
требований к безопасности и устойчивости, не рекомендуется перегибать пружину на ± 720º.
Рис. 2
3. Построить график зависимости момента силы спиральной пружины от
-5-
угла ее закручивания. Из графика (рис.2) находим тангенс угла наклона, численное значение которого равно угловому коэффициенту упругости пружины.
Задание 2. Определение момента инерции твердого тела
1. Закрепите однородный цилиндр на вращающемся валу (рис.1).
2. Для измерения периода колебаний на диск прикрепите листок бумаги (ширина ≤ 3 мм). Разместите тело так, чтобы листок находился точно под световым барьером. Для светового барьера выберите режим 
. Отклоните тело на угол j» 30º. Нажатием кнопки в верхнем левом углу включите световой барьер и освободите диск. Несколько раз (3-5) измерьте период колебаний диска.
3. По среднему значению периода определите момент инерции однородного цилиндра I по формуле (9).
4. С помощью рычажных весов измерьте массу цилиндра. Рулеткой измерить радиус цилиндра.
5. Найдите теоретическое значение момента инерции цилиндра Iтеор.
6. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 1.
Таблица 1
| Ц И Л И н Д Р | № п/п | Т | I | m | R | Iтеор | DI | e |
| с | кг м2 | кг | м | кг м2 | кг м2 | % | ||
| : | ||||||||
| Ср. |
7. Сравните результаты эксперимента с теоретическим значением момента инерции цилиндра, оцените погрешность по формуле:
Примечание. Алгоритм обработки прямых и косвенных измерений приведены в Приложении.
Задание 3. Установление зависимости момента инерции двух грузиков от их расстояния до оси вращения.
-6-
1 Закрепите стержень на вращающемся валу (рис.1).
2. Счетчик расположить так, чтобы при колебаниях стержня его конец пересекал световой барьер.
3. Несколько раз (3-5) измерьте период колебаний Т стержня.
4. По среднему значению периода по формуле (9) определите момент инерции однородного стержня I.
5. Закрепите на стержне два груза на одинаковом и минимальном расстоянии от оси вращения. Повторите пункты 3-4 для нагруженного стержня и определите момент инерции нагруженного стержня I0.
6. Вычислите момент инерции двух грузов относительно оси вращения:
Iгр= I0 – I.
7. Повторите пункты 5, 6 для 5 – 7 различных расстояний грузов до оси вращения.
8. Принимая грузы за материальные точки, по известной их массе рассчитать для каждого расстояния теоретическое значение момента инерции, по формуле: Iгр теор =2mr2.
9. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 2.
Таблица 2
| № п/п | Т | I | r | Т0 | I0 | IГР | Iгр Теор |
| с | кг м2 | м | с | кг м2 | кг м2 | кг м2 | |
| : | |||||||
| Ср. |
10. В одних координатных осях постройте графики зависимостей: IГР (r), Iгр теор (r).
11. Сравните результаты эксперимента с теоретическим значением момента инерции грузов, сделайте вывод.
-7-
Контрольные вопросы
1. Что называется моментом силы и как направлен его вектор?
2. Что называется моментом инерции твердого тела?
3. Как из основного уравнения динамики вращательного движения получить дифференциальное уравнение свободных колебаний маятника?
4. Приведите решение дифференциального уравнения.
5. Выведите формулу, позволяющую определить момент инерции твердого тела методом крутильных колебаний.
Рекомендуемая литература
1. СавельевИ.В. Курс физики. Т2. М.: Наука. 1989. §§64. 70.
2. СавельевИ.В. Курс физики. Т1. М.: Наука. 1989. §§26, 31, 32.
3. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высшая школа. 2003. §§ 16, 18, 141, 146.
4. Федосеев В.Б. Физика. Ростов-на-Дону: Феникс. 2009.
5. Инструкция по эксплуатации оборудования фирмы “PHYWE”.
-8-
Приложение
Статистическая обработка прямых измерений.
1. Измеренный несколько раз период крутильных колебаний и его среднее значение занесите в таблицу 3.
2. Определите абсолютные погрешности отдельных измерений: 
Δ Тi= | <Т>-Тi|
3. Возведите в квадрат абсолютные погрешности отдельных измерений: Δ Т12, Δ Т2 2, Δ Т32 ….
4. Вычислите стандартный доверительный интервал по формуле:
.
5. При заданном преподавателем значении доверительной вероятности α записать соответствующий коэффициент Стьюдента t(α,n). Найти случайную погрешность по формуле: Δ Тсл= t (α,n) SТ,n.
6. С учетом приборной погрешности ΔТпр. рассчитать величину доверительного интервала по формуле:
7. Результаты вычислений занести в таблицу 3.
Таблица 3
| № | Т | ΔТ | ΔТ2 | SТ,n | t(α,n) | ΔТсл | ΔТпр | ΔТ |
| п/п | c | c | с2 | с | – | c | с | с |
| 1. 2. … 7. | ||||||||
| Ср. |
8. Результаты измерений представьте в виде: Т =<Т> + Δ Т.
-9-
Обработка косвенных измерений
1. Средние значения периода, углового коэффициента упругости пружины и момнта инерции занесите в таблицу 4.
2. Получите формулу относительной погрешности. Для этого необходимо:
а) расчетную формулу (9) прологарифмировать
ln I = ln G + 2ln T – ln 4p2;
б) взять полный дифференциал от натурального
логарифма: dI/I = dG/G – 2dT/T;
в) сгруппировать члены с одинаковым дифференциалом,
знаки «-», стоящие перед дифференциалом, заменить
на знак «+», а знак дифференциала d заменить на знак
приращения Δ: εI = ΔI / <I> = ΔG / <G>+ 2 ΔT / < T>
3. Вычислите относительную погрешность и доверительный интервал: εI; ΔI = εI <I>.
4. Повторите вычисления (см. пункты 1-3) относительной погрешности и доверительного интервала для момента инерции I0.
5. Вычислите относительную погрешность для двух цилиндров относительно их оси симметрии Z, по формуле:
6. Вычислите доверительный интервал ΔIZ.
7. Результаты вычислений занесите в сводную таблицу 4.
Таблица 4
| G (Нм/рад) | Т (с) | I (кг м2) | |
| Среднее значение | |||
| Относительная погрешность | 0.01 | ||
| Доверительный интервал |
8. Результаты измерений представьте в виде: I =<I> + Δ I.
-10-
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ФИЗИКИ
Лаборатория
«Инновационные технологии обучения физике и КСЕ»
Момент инерции твердых тел
Методические указания к лабораторной работе № М1
Ростов-на-Дону