Частные случаи матриц.
1. Если , то матрица называется квадратной. Её диагональ называется главной диагональю, а – побочной диагональю.
2. Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, т.е. .
3. Диагональная матрица вида называется скалярной.
4. Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается или , где – ее порядок.
5. Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается .
6. Если , то матрица называется строкой, или матрица-строка, или строка. Если столбцовая = матрица-столбец = столбец.
Определение 2. Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.
2о. Операции над матрицами и их свойства.
Определение 3. Суммой матриц и (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица : .
Обозначение: .
Замечание. Сумма матриц – алгебраическая операция.
Пример.
.
Свойства (сложения матриц).
1) Коммутативность сложения, т.е., справедливо .
2) Ассоциативность сложения, т.е., справедливо .
3) .
4) . При этом, если , то . Матрица называется противоположной к и обозначается .
Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.
Теорема 1. Множество относительно сложения образует абелеву группу.
Доказательство следует из свойств 1)–4).
Определение 4. Произведением элемента на матрицу называется матрица
Обозначение: .
Операция, сопоставляющая и их произведение называется умножением элемента кольца на матрицу.
Свойства (умножения матрицы на элемент кольца).
выполняется
1) .
2) .
3) .
4) .
Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.
Замечание. Разность двух прямоугольных матриц и определяется равенством .
Определение 5. Произведением матриц размера и размера называется матрица размеров такая, что каждый элемент .
Обозначение: .
Операция произведения на называется перемножением этих матриц.
Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий в –ой строке и –ом столбце, равен сумме произведений элементов –ой строки матрицы на –ый столбец матрицы .
Примеры.
1) ,
2) .
Таким образом, две матрицы можно перемножать, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Тогда матрица называется согласованной с . Из согласованности с не следует согласованность с . Если даже условие согласования выполняется, то в общем случае .
Свойства (умножения матриц).
1) Ассоциативность умножения матриц, т.е., справедливо .
Доказательство. Из определения 5 следует, что элемент матрицы равен , а элемент матрицы равен . Равенство следует из возможности изменения порядка суммирования.
2) Дистрибутивность сложения относительно умножения, т.е.,
, .
, .
Доказательство следует из определения суммы и произведения матриц.
3) .
Доказательство. Пусть , и . Тогда . Здесь – символ Кронекера.
.
4) .
5) .
Доказательство свойств 4)-5) проводится аналогично свойству 3).
6) .
Теорема 2. Множество квадратных матриц порядка над кольцом относительно операций сложения матриц и умножения матриц образует кольцо с единицей.
Доказательство. Из теоремы 1 – абелева группа. Так как любые матрицы из согласованы умножение определено. Дистрибутивность и ассоциативность умножения следует из свойств 2) и 1). Свойство 3) демонстрирует наличие единицы.■
Замечание. В общем случае произведение матриц не коммутативно. Например,
.
Но из свойств 4) и 5) умножение квадратной матрицы на и коммутирует. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную.
3о. Блочные матрицы.
Пусть матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки указанной матрицы ( – элементы матрицы, поэтому заглавное). Здесь – номер блочной строки, – столбца.
Например, если
, то ,
, , .
Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки. Действительно, если , то , где вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число. Аналогично, если и имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме отвечает блочная матрица : .
Для умножения на необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока равно числу строк блока . Тогда .
Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц . Пусть . Если , то и , откуда следует, что
, что и требовалось доказать.
Пример. Пусть , , т.е.,
, ,
где
,
.
Тогда . Аналогично находятся остальные . В результате получаем
.
В качестве применения блочных матриц рассмотрим
Определение 6. Прямой суммой квадратных матриц порядков соответственно называется квадратная матрица порядка : .
Обозначение: .