Частные случаи матриц.
1. Если , то матрица называется квадратной. Её диагональ
называется главной диагональю, а
– побочной диагональю.
2. Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, т.е. .
3. Диагональная матрица вида называется скалярной.
4. Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается или
, где
– ее порядок.
5. Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается
.
6. Если , то матрица называется строкой, или матрица-строка, или строка. Если
столбцовая = матрица-столбец = столбец.
Определение 2. Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.
2о. Операции над матрицами и их свойства.
Определение 3. Суммой матриц и
(т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица
:
.
Обозначение: .
Замечание. Сумма матриц – алгебраическая операция.
Пример.
.
Свойства (сложения матриц).
1) Коммутативность сложения, т.е., справедливо
.
2) Ассоциативность сложения, т.е., справедливо
.
3) .
4) . При этом, если
, то
. Матрица
называется противоположной к
и обозначается
.
Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.
Теорема 1. Множество относительно сложения образует абелеву группу.
Доказательство следует из свойств 1)–4).
Определение 4. Произведением элемента на матрицу
называется матрица
Обозначение: .
Операция, сопоставляющая и
их произведение
называется умножением элемента кольца на матрицу.
Свойства (умножения матрицы на элемент кольца).
выполняется
1) .
2) .
3) .
4) .
Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.
|
Замечание. Разность двух прямоугольных матриц
и
определяется равенством
.
Определение 5. Произведением матриц размера
и
размера
называется матрица
размеров
такая, что каждый элемент
.
Обозначение: .
Операция произведения на
называется перемножением этих матриц.
Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий в
–ой строке и
–ом столбце, равен сумме произведений элементов
–ой строки матрицы
на
–ый столбец матрицы
.
Примеры.
1) ,
2) .
Таким образом, две матрицы можно перемножать, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы
. Тогда матрица
называется согласованной с
. Из согласованности
с
не следует согласованность
с
. Если даже условие согласования выполняется, то в общем случае
.
Свойства (умножения матриц).
1) Ассоциативность умножения матриц, т.е., справедливо
.
Доказательство. Из определения 5 следует, что элемент матрицы
равен
, а элемент
матрицы
равен
. Равенство
следует из возможности изменения порядка суммирования.
2) Дистрибутивность сложения относительно умножения, т.е.,
,
.
,
.
Доказательство следует из определения суммы и произведения матриц.
3) .
Доказательство. Пусть , и
. Тогда
. Здесь
– символ Кронекера.
.
4) .
5) .
Доказательство свойств 4)-5) проводится аналогично свойству 3).
6) .
Теорема 2. Множество квадратных матриц порядка
над кольцом
относительно операций сложения матриц и умножения матриц образует кольцо с единицей.
Доказательство. Из теоремы 1 – абелева группа. Так как любые матрицы из
согласованы
умножение определено. Дистрибутивность и ассоциативность умножения следует из свойств 2) и 1). Свойство 3) демонстрирует наличие единицы.■
|
Замечание. В общем случае произведение матриц не коммутативно. Например,
.
Но из свойств 4) и 5) умножение квадратной матрицы на
и
коммутирует. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную.
3о. Блочные матрицы.
Пусть матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае
рассматривается как некоторая новая, блочная матрица
, элементами которой являются блоки
указанной матрицы (
– элементы матрицы, поэтому
заглавное). Здесь
– номер блочной строки,
– столбца.
Например, если
, то
,
,
,
.
Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки. Действительно, если , то
, где
вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число. Аналогично, если
и
имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме
отвечает блочная матрица
:
.
Для умножения на
необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока
равно числу строк блока
. Тогда
.
Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц . Пусть
. Если
, то
и
, откуда следует, что
, что и требовалось доказать.
Пример. Пусть ,
, т.е.,
,
,
где
,
.
Тогда . Аналогично находятся остальные
. В результате получаем
|
.
В качестве применения блочных матриц рассмотрим
Определение 6. Прямой суммой квадратных матриц порядков
соответственно называется квадратная матрица
порядка
:
.
Обозначение: .