Цель урока. Дать определение треугольника, его вершин, сторон, углов и периметра. Определить равенство двух треугольников. Определение понятий сопровождать анимационными моделями. Сформулировать и доказать теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними. При доказательстве использовать анимационные возможности среды Живая математика. Рассмотреть задачи по рассматриваемой теме.
Необходимое программное обеспечение. На уроке учителю потребуется персональный компьютер, проектор, экран, программа Живая математика, подготовленные заранее собственные инструменты.
Ход урока. На уроке даётся определение треугольника, учитель в режиме реального времени строит на рабочем поле среды Живая математика треугольник. Используя ручную анимацию, перемещает одну из его вершин, демонстрируя тем самым тот факт, что есть различные виды треугольников (на рис. 1 продемонстрированы три стоп-кадра, которые получаются в результате перемещения с помощью мышки «жирной» вершины).
Далее, учитель вводит определения и обозначения вершин треугольника, сторон, углов и периметра, показывает как их можно измерить.
Перемещая одну из вершин, учитель демонстрирует изменения величин сторон, углов и периметра треугольника.
Далее учитель определяет (точнее, напоминает ученикам) равенство двух фигур, в частности двух треугольников, с помощью наложения одного из них на другого. Для этого он переходит к подготовленной заранее второй странице презентации, на которой изображены два треугольника АВС и А1В1С1. Одному из учеников предлагается сесть за компьютер учителя и совместить их. Сначала, ухватившись за вершину А, ученик совмещает ее с вершиной А1, затем, поворачивая В, совмещает её с В1. Если произошло совмещение каких-то элементов треугольника (сторон или углов), то этот факт отмечается выставлением соответствующих отрезочных или угловых меток.
У учителя есть возможность повторить попытку, вызвав к доске второго ученика, и заменив треугольники на новые (для этого достаточно нажать кнопку «показать отрезки» и изменить их длину).
Далее учитель обобщает проведённые испытания в виде следующих двух очевидных правила:
1) если два треугольника равны (т.е. совмещаются), то все шесть элементов (три стороны и три угла) одного треугольника соответственно равны шести элементам второго.
2) в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т.е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов (т.е. совмещающихся при наложении) лежат равные стороны.
Перед тем как перейти к рассмотрению первого признака равенства треугольников, учитель должен мотивировать учеников, т.е. объяснить им, для чего эти признаки необходимы. А они нужны для того, чтобы при доказательстве равенства треугольников не проверять совпадение все шести их элементов (или обойтись без наложения треугольника на треугольник), а ограничиться лишь некоторыми тремя парами элементов.
В первом признаке обосновывается, что для равенства треугольников достаточно проверить равенство двух сторон и угла между этими сторонами.
Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Учитель демонстрирует третью страницу, подготовленного заранее GSP-файла. На рабочем поле изображены два треугольника АВС и А1В1С1, отмечены равные стороны и пара равных углов между этими сторонами (сделаны соответствующие пометки маркерами), стороны А1В1 и А1С1 помещены на одноименные лучи.
Для динамической визуализации доказательства и более точного расположения подвижного треугольника удобно использовать кнопочную анимацию. Для этого учитель заранее готовит кнопку для перемещения треугольника АВС, приводящая к совпадению вершин А и А1.
А также вторую кнопку, которая приводит к совпадению В и В1.
В отличие от анимации на странице 2 учитель обязательно должен прокомментировать, во-первых, почему вершина В совпадёт с вершиной В1 (т.к. отрезок АВ помещён на луч А1В1, а расстояние АВ = А1В1), во-вторых, почему точка С попадёт на луч А1С1 (так как угол ВАС равен углу В1А1С1), и в-третьих, почему точка С совпадёт с точкой С1 (т.к. отрезок АС равен отрезку А1С1). Очевидно, что совпадение пар точек В и В1, а также С и С1, влечёт за собой совпадение отрезков ВС и В1С1, а также пар углов при вершинах В и В1, С и С1. Эти факты визуально подтверждаются на чертежах, что помогает усвоить доказательство даже тем ученикам, которые испытывают проблемы при традиционном способе доказательства.
Рассматривая доказательство теоремы в среде «Живая математика», у детей лучше развивается зрительная память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность.