| №
| Вид интеграла
| Способ вычисления
|
| I.
| Табличный интеграл
| Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов
= F(x) +С
|
«Почти» табличный интеграл
| Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов
= F(x+а) +С
|
«Почти» табличный интеграл
| Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов, коэффициент а ставится в знаменатель.
=  F(аx) +С
|
| Иногда, при вычислении необходимо преобразовать подынтегральную функцию, раскрыв скобки, разделив почленно, применив тригонометрические формулы.
|
| II.
| Интеграл, содержащий функцию и ее производную
| Вычисляется методом замены переменной
сводится к типу I.
|
| III.
| Произведение многочлена  на показательную или тригонометрическую функцию
| Вычисляется методом интегрирования по частям: разбиваем интеграл на части  и  .
Для u вычисляем дифференциал du, для dv первообразную v, применяем формулу  .
Второй интеграл  сводится к I, II или XIV.
|
| IV.
| Произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию
| Вычисляется методом интегрирования по частям: разбиваем интеграл на части  и  .
Для u вычисляем дифференциал du, для dv первообразную v, применяем формулу .
Второй интеграл сводится к I, II или XIV.
|
| V.
| Интеграл от рациональной функции, аргументами которой являются 
| Применяется универсальная тригонометрическая подстановка
Далее интеграл сводится в виду I, II, XIV, IX.
|
| VI.
| Интеграл от рациональной функции, являющейся четной относительно
Интеграл от рациональной функции, аргументами которой является 
| Применяется подстановка:
Далее интеграл сводится в виду I, II, XIV, IX.
|
| VII.
| 
| Применяется формула
|
| Применяется формула
|
| Применяется формула
|
| VIII
| 
| если m – целое, нечетное, положительное число, делаем подстановку  тогда  . Получаем интеграл вида I.
|
если n – целое, нечетное, положительное число, делаем подстановку  тогда  . Получаем интеграл вида I.
|
если m и n – целые, четные положительные, то применяем формулы
 Получаем интеграл вида I.
|
если m+n – целое четное отрицательное число, делаем подстановку  . Получаем интеграл вида I.
|
| IX.
| 
| Выделяем полный квадрат
 ,
делаем замену 
Получаем интегралы вида I, II.
|
| X.
| 
| Делаем подстановку  . Получаем интеграл вида IX.
|
| XI
| 
| Делаем замену
Получаем интегралы вида I, II, XIV.
|
| XII
| 
| Делаем тригонометрическую подстановку
 .
Получаем интеграл вида VIII.
|
| Делаем тригонометрическую подстановку
 .
Получаем интеграл вида VIII.
|
| Делаем тригонометрическую подстановку
 .
Получаем интеграл вида VIII.
|
| XIII
| Интеграл от дифференциального бинома
| если р – целое число, делаем замену
 = НОК (знаменателей m и n).
Получаем интегралы вида I, II, XIV.
|
если  – целое число, делаем замену
 = знаменателю р,
Получаем интегралы вида I, II, XIV.
|
если  – целое число, делаем замену
 = знаменателю р,
Получаем интегралы вида I, II, XIV.
|
| XIV
| Интеграл от рациональной дроби
 – многочлен степени m, – многочлен степени n.
| Для вычисления интеграла необходимо:
– если дробь неправильная  , нужно выделить целую часть, разделив числитель дроби на знаменатель, т.е. представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби;
– разложить знаменатель дроби на множители;
– разложить правильную дробь на сумму простейших дробей в соответствии с полученными в знаменателе множителями:
множителю  соответствует k дробей 
множителю  соответствует s дробей  – сумму дробей привести к общему знаменателю;
– приравнять числители дробей;
– приравнять коэффициенты перед одинаковыми степенями х;
– найти неизвестные коэффициенты А, В, С…;
– проинтегрировать получившуюся сумму (получатся интегралы вида I, II, IX).
|
| | | | |