№ | Вид интеграла | Способ вычисления | |
I. | Табличный интеграл | Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов = F(x) +С | |
«Почти» табличный интеграл | Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов = F(x+а) +С | ||
«Почти» табличный интеграл | Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов, коэффициент а ставится в знаменатель. = F(аx) +С | ||
Иногда, при вычислении необходимо преобразовать подынтегральную функцию, раскрыв скобки, разделив почленно, применив тригонометрические формулы. | |||
II. | Интеграл, содержащий функцию и ее производную | Вычисляется методом замены переменной сводится к типу I. | |
III. | Произведение многочлена на показательную или тригонометрическую функцию | Вычисляется методом интегрирования по частям: разбиваем интеграл на части и . Для u вычисляем дифференциал du, для dv первообразную v, применяем формулу . Второй интеграл сводится к I, II или XIV. | |
IV. | Произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию | Вычисляется методом интегрирования по частям: разбиваем интеграл на части и . Для u вычисляем дифференциал du, для dv первообразную v, применяем формулу . Второй интеграл сводится к I, II или XIV. | |
V. | Интеграл от рациональной функции, аргументами которой являются | Применяется универсальная тригонометрическая подстановка Далее интеграл сводится в виду I, II, XIV, IX. | |
VI. | Интеграл от рациональной функции, являющейся четной относительно Интеграл от рациональной функции, аргументами которой является | Применяется подстановка: Далее интеграл сводится в виду I, II, XIV, IX. | |
VII. | Применяется формула | ||
Применяется формула | |||
Применяется формула | |||
VIII | если m – целое, нечетное, положительное число, делаем подстановку тогда . Получаем интеграл вида I. | ||
если n – целое, нечетное, положительное число, делаем подстановку тогда . Получаем интеграл вида I. | |||
если m и n – целые, четные положительные, то применяем формулы Получаем интеграл вида I. | |||
если m+n – целое четное отрицательное число, делаем подстановку . Получаем интеграл вида I. | |||
IX. | Выделяем полный квадрат , делаем замену Получаем интегралы вида I, II. | ||
X. | Делаем подстановку . Получаем интеграл вида IX. | ||
XI | Делаем замену Получаем интегралы вида I, II, XIV. | ||
XII | Делаем тригонометрическую подстановку . Получаем интеграл вида VIII. | ||
Делаем тригонометрическую подстановку . Получаем интеграл вида VIII. | |||
Делаем тригонометрическую подстановку . Получаем интеграл вида VIII. | |||
XIII | Интеграл от дифференциального бинома | если р – целое число, делаем замену = НОК (знаменателей m и n). Получаем интегралы вида I, II, XIV. | |
если – целое число, делаем замену = знаменателю р, Получаем интегралы вида I, II, XIV. | |||
если – целое число, делаем замену = знаменателю р, Получаем интегралы вида I, II, XIV. | |||
XIV | Интеграл от рациональной дроби – многочлен степени m, – многочлен степени n. | Для вычисления интеграла необходимо: – если дробь неправильная , нужно выделить целую часть, разделив числитель дроби на знаменатель, т.е. представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби; – разложить знаменатель дроби на множители; – разложить правильную дробь на сумму простейших дробей в соответствии с полученными в знаменателе множителями: множителю соответствует k дробей множителю соответствует s дробей – сумму дробей привести к общему знаменателю; – приравнять числители дробей; – приравнять коэффициенты перед одинаковыми степенями х; – найти неизвестные коэффициенты А, В, С…; – проинтегрировать получившуюся сумму (получатся интегралы вида I, II, IX). | |