ОСНОВЫТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ
Уже на примерах растяжения и сдвига мы имели возможность убедиться в том, что напряжения в площадке, проходящей через заданную точку напряженного тела, зависят от ее ориентации. С поворотом площадки меняются в определенной зависимости и напряжения. Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженньш состоянием в точке. Напряженное состояние поддается анализу не только в частных случаях растяжения и сдвига, но и в общем случае нагружения тела. В настоящей главе этот вопрос и будет рассмотрен. Заметим, что исследование законов изменения напряжений в точке не является чисто отвлеченным. Оно необходимо для последующего решения более сложных задач и в первую очередь для расчетов на прочность в общих случаях нагружения.
Положим, имеется некоторое тело (не обязательно упругое), нагруженное произвольной системой сил (рис. 7.1). При
переходе от точки к точке напряженное состояние меняется достаточно медленно и всегда имеется возможность выбрать в окрестности произвольно взятой точки А (см. рис. 7.1) такую достаточно малую область, для которой напряженное состояние можно было бы рассматривать как однородное. Понятно, что такой подход возможен только в пределах принятой ранее гипотезы сплошной среды, допускающей переход к предельно малым объемам.
Рис. 7.1
Рис. 7.2
Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в точке А, представим себе, что через нее проведены три секущие площадки и установлены возникающие в них напряжения. Затем в окрестности исследуемой точки шестью сечениями выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 7.2). Если размеры параллелепипеда уменьшать, он будет стягиваться в эту точку. В пределе все грани параллелепипеда пройдут через точку А, и напряжения в соответствующих секущих плоскостях можно рассматривать как напряжения в исследуемой точке.
Полное напряжение, возникающее на секущей площадке, может быть разложено на три составляющие: одну по нормали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение будем обозначать по-прежнему буквой а с индексом, соответствующим осям х, у и z (см. рис. 7.2). Касательное напряжение обозначим буквой 
с двумя индексами: первый соответствует оси, перпендикулярной к площадке, а второй -
оси, вдоль которой направлен вектор 
. Ориентация самих осей является произвольной.
Нормальные растягивающие напряжения а будем считать положительными, сжимающие - отрицательными. Что касается знака напряжений 
то здесь обусловливать его не будем, поскольку в пределах рассматриваемых ниже задач знак 
роли не играет.
Напряжения, возникающие на трех гранях элемента (на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку) показаны на рис. 7.2. На невидимых гранях элемента возникают соответственно такие же напряжения, но противоположно направленные.
Система сил, приложенных к элементу, должна удовлетворять условиям равновесия. Поскольку на противоположных гранях возникают противоположные по направлению силы, то первые три условия равновесия удовлетворяются тождественно, и суммы проекций всех сил на оси х, у и z равны нулю независимо от значений возникающих напряжений. Остается проверить, обращаются ли в нуль суммы моментов всех сил относительно осей 
При составлении уравнений равновесия легко обнаружить, что момент каждой силы уравновешивается моментом противоположной силы, расположенной на невидимой грани. Исключение составляют касательныесилы. Например, для оси х условие равенства нулю суммы моментов соблюдается в том случае, если момент силы 
равен моменту силы 
, т. е.
Аналогично могут быть написаны еще два уравнения равновесия. Тогда получаем
Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра. Это и есть закон парности касательных напряжений, сформулированный в общем виде (см. также § 1.5). Он справедлив для всех точек нагруженного тела независимо от
вида приложенных нагрузок и свойств материала. Следствием из условия парности касательных напряжений является то, что на гранях выделенного элемента (см. рис. 7.2) имеем не девять, а только шесть независимых компонент напряжений, поскольку касательные напряжения попарно равны.
Анализ напряженного состояния в точке начинают всегда с определения напряжений на гранях выделенного в окрестности точки элемента. Через точку проводят три взаимно перпендикулярные плоскости, ориентацию которых выбирают произвольно, но так, чтобы напряжения в площадках могли бы быть определены наиболее простым путем.
Пример 7.1. Выявить напряженное состояние в точках А к В растянутого и одновременно закрученного стержня (рис. 7.3, а).
Рис. 7.3
В окрестности заданных точек секущими плоскостями выделяем элементарный объем. Ориентацию плоскостей выбираем таким образом, чтобы напряжения можно было определить наиболее простым способом. В данном случае естественной является ориентация плоскостей вдоль и поперек оси стержня. На рис. 7.3, а секущие плоскости в окрестности точек А и В показаны штриховыми линиями. Вынесем выделенные элементы за пределы нагруженного тела и представим их в увеличенном масштабе с сохранением ориентации плоскостей (рис. 7.3, б и в).
В результате действия силы Р в поперечных сечениях стержня возникает нормальное напряжение 
Векторы соответствующих напряжений вычерчиваем на гранях элементов. В результате действия момента 
в поперечных и продольных сечениях возникают касательные напряжения. В точке А напряжение гтлх 
в точке В напряжение 
Векторы 
также вычерчиваем на гранях элемента. В итоге имеем: в точке 
в точке 