Практическое занятие № 2
Случайные события
Определения
Событием называется всякий факт, который может произойти в результате опыта.
Событие 
называется достоверным, если оно непременно произойдет в результате опыта.
Событие 
называется невозможным, если оно не может произойти в результате опыта.
Событие 
называется случайным, если оно может произойти или не произойти в результате опыта.
Чтобы сравнить между собой события по степени их возможности, с каждым событием связывают
определенное число, которое называется вероятностью события и обозначается 
.
Вероятность события неотрицательна и не превосходит единицы, т.е. 
.
Вероятность достоверного события 
, вероятность невозможного события 
.
Классическое определение вероятности
Пусть некоторый опыт сводится к 
исходам, которые обладают следующими свойствами:
1) все исходы образуют полную группу, т.е. в результате опыта появиться хотя бы один исход;
2) все исходы равновозможны;
3) все исходы попарно несовместны, т.е. не могут в результате опыта наступить одновременно.
Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме исходов.
Исход опыта называется благоприятным или благоприятствующим событию , если появление этого
исхода влечет за собой появление события .
Тогда вероятность события вычисляется по классической формуле вероятности:
,
где - общее число исходов опыта;
- число исходов, благоприятствующих событию .
Задача 1. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что взятый наудачу
шар будет белым?
Событие - вынут белый шар.
Применим классическую формулу вероятности:
,
где - общее число исходов опыта, 
,
- число исходов, благоприятствующих событию , 
.
Тогда 
.
Задача 2. В группе 15 юношей и 10 девушек. В группе разыгрываются по жребию 5 билетов на концерт.
Какова вероятность того, что 1) на концерт попадут 2 девушки и 3 юношей;
2) на концерт попадут 1 девушка и 4 юношей?
1) Событие - на концерт попадут 2 девушки и 3 юношей.
Применим классическую формулу вероятности:
,
где - общее число исходов опыта,
- число исходов, благоприятствующих событию .
По условию задачи из 25 студентов получат билеты 5 человек.
Общее число исходов опыта – это число выборок из 25 студентов по 5 студентов, которые отличаются одна от другой самими студентами, при этом порядок следования студентов значения не имеет (билеты одинаковые на один и тот же концерт). Такие выборки называются сочетаниями без возвращения (без повторения элементов), и число таких выборок вычисляется следующим образом:
.
По условию задачи: на концерт получат билеты 2 девушки из 10 
имеем выборки из 10 девушек по 2, которые отличаются одна от другой самими девушками, при этом порядок следования девушек значения не имеет. Такие выборки называются сочетаниями без возвращения, и число таких выборок вычисляется следующим образом: 
.
По условию задачи: на концерт получат билеты 3 юношей из 15 имеем выборки из 15 юношей по 3, которые отличаются одна от другой самими юношами, при этом порядок следования юношей значения не имеет. Такие выборки называются сочетаниями без возвращения, и число таких выборок вычисляется следующим образом: 
.
По условию задачи: билеты на концерт получат 2 девушки и 3 юношей число исходов, благоприятствующих событию ,найдем по правилу умножения: 
.
Тогда 
.
2) Событие 
- на концерт попадут 1 девушки и 4 юношей.
Применим классическую формулу вероятности:
,
где - общее число исходов опыта,
- число исходов, благоприятствующих событию .
Общее число исходов опыта 
.
Число исходов, благоприятствующих событию ,найдем по правилу умножения: 
.
Тогда 
.
Задача 3. Из полного набора костей домино (28 штук) берут наудачу три кости.
Найти вероятность того, что 1) каждая из костей с шестеркой;
2) две кости из трех имеют шестерку.
1) Событие - каждая из трех костей с шестеркой.
Применим классическую формулу вероятности:
,
где - общее число исходов опыта,
- число исходов, благоприятствующих событию .
По условию задачи: из полного набора костей домино (28 штук) берут наудачу 3 кости.
Тогда общее число исходов опыта – это число выборок из 28 костей по 3 кости, которые отличаются одна от другой самими элементами, при этом порядок следования элементов значения не имеет.
Такие выборки называются сочетаниями без возвращения (без повторения элементов), и число таких выборок равно:
.
В полном наборе костей домино 7 костей с шестеркой.
По условию задачи: каждая из трех взятых костей с шестеркой из 7 костей с шестеркой наудачу берут 3 кости – это выборки из 7 костей по 3, которые отличаются самими костями, при этом порядок следования костей значения не имеет, т.е. это сочетания из 7 элементов по 3 элемента, число которых равно: 
.
Из оставшихся 21 кости не взяли ни одной число выборок из 21 элемента по 0 элементов равно: 
.
Число исходов, благоприятствующих событию ,найдем по правилу умножения: 
,
т.к. из 7 костей с шестеркой наудачу взяли 3 кости, и из 21 кости без шестерки не взяли ни одной.
Тогда 
.
2) Событие - две кости из трех имеют шестерку.
Применим классическую формулу вероятности:
,
где - общее число исходов опыта,
- число исходов, благоприятствующих событию .
Общее число исходов опыта 
(см. выше).
Число исходов, благоприятствующих событию ,найдем по правилу умножения: 
,
т.к. из 7 костей с шестеркой наудачу берут 2 кости, и из 21 кости без шестерки наудачу берут 1 кость.
Тогда 
.
Задача 4. Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке.
Чему равна вероятность того, что тома стоят в должном порядке слева направо или справа налево?
Событие - тома стоят на полке в должном порядке слева направо (1234) или справа налево (4321).
Применим классическую формулу вероятности:
,
где - общее число исходов опыта,
- число исходов, благоприятствующих событию .
По условию задачи тома стоят на полке в случайном порядке.
Тогда общее число исходов опыта - это число выборок из 4 книг по 4 книги, которые отличаются одна от другой только порядком следования книг. Такие выборки называются перестановками без возвращения (без повторения элементов) по 4 элемента, и число таких выборок равно: 
.
Число исходов , благоприятствующих событию , равно 
.
Тогда 
.
Задача 5. Слово «МОСКВА» состоит из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешивают, после чего берут 4 из них и выкладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ВОСК»?
Событие - получится слово «ВОСК».
Применим классическую формулу вероятности:
,
где - общее число исходов опыта,
- число исходов, благоприятствующих событию .
Общее число исходов опыта - это число выборок из 6 букв по 4 буквы, которые отличаются одна от другой самими буквами и порядком следования букв. Такие выборки называются размещениями без возвращения (без повторения элементов) из 6 элементов по 4 элемента, и число таких выборок равно: 
.
Число исходов, благоприятствующих событию , 
.
Тогда 
.
Задачи
1. В коробке лежат 10 одинаковых деталей с номерами от 1 до 10.
Найти вероятность того, что номер наугад вынутой детали 1) равен 15;
2) не превосходит 10;
3) четный;
4) четный, делящийся на 3;
5) больше 2, но меньше 7.
Ответ: 0; 1; 0,5; 0.1; 0,6.
2. Куб, все грани которого окрашены, распилен ни 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики перемешаны. Найти вероятность того, что извлеченный наудачу кубик будет иметь:
1) три окрашенные грани;
2) две окрашенные грани;
3) одну окрашенную грань;
4) кубик будет неокрашенный.
Ответ: 0,008; 0,096; 0,384; 0,512.
3. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: 1) сумма выпавших очков равна семи; 2) сумма выпавших очков равна восьми, а разность - четырем; 3) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение - четырем.
Ответ: 
; 
; .
4. В коробке 10 одинаковых деталей с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся 1) деталь № 1; 2) детали № 1 и № 2.
Ответ: 0,6; 
.
5. В коробке шесть одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
Ответ: 
.
6. В коробке имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашены. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что 1) все детали окажутся окрашенными; 2) ровно две детали окажутся окрашенными; 3) одна деталь окажется окрашенной; 4) хотя бы одна деталь окажется окрашенной.
Ответ: 0,264; 0,494; 0,22; 0,978.
7. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 5000 рублей, на четыре билета – по 1000 рублей, на 10 билетов – по 500 рублей, на 20 билетов – по 100 рублей, на 50 билетов – по 50 рублей.
Какова вероятность выиграть по билету не менее 500 рублей?
Ответ: 0,0075.
8. Из колоды карт (52 листа) наугад извлекают три карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка и туз.
Ответ: 0,0029.
9. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня, что эти цифры различные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набран нужный номер.
Ответ: 0,0014.
10. На экзамене в группе 4 студента получили оценку «отлично», 10 – «хорошо» и 6 – «удовлетворительно». Из состава группы наудачу выбирают трех студентов для тестирования. Найти вероятность того, что 1) будут выбраны одни отличники; 2) на тестирование не попадут хорошисты.
Ответ: 0,0035; 0,105.
11. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что 1) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки; 2) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются шесть карточек и располагаются в ряд в порядке появления.
Ответ: 0,0083; 0,0014.
12. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 50. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает 1) все вопросы; 2) два вопроса.
Ответ: 0,573; 0,358.
13. Из колоды карт (36 листов) наугад вынимают две карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама».
Ответ: 0,213.
14. В лотерее выпущено 15 билетов, из которых 5 выигрышных. Куплено 7 билетов. Найти вероятность того, что среди купленных билетов будет 3 выигрышных.
Ответ: 0,326.