Подобие. Признаки подобия треугольников.

ТРЕУГОЛЬНИКИ

Признаки равенства треугольников.

1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треуголь­ника, то треугольники равны.

2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.

1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

2) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основа­нию, является биссектрисой и высотой.

3) Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

4) Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

5) Если биссектриса треугольника является его высотой, то тре­угольник равнобедренный.

6) Если медиана треугольника является его биссектрисой, то тре­угольник равнобедренный.

Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее.

1) Сумма внутренних углов треугольника равна 180◦.

2) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.

3) Сумма внутренних углов выпуклого n -угольника равна 180⁰· (n− 2).

4) Сумма внешних углов n -угольника равна 360⁰.

5) Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

1) По двум катетам.

2) По катету и гипотенузе.

3) По гипотенузе и острому углу.

4) По катету и острому углу.

5. Геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон, есть биссектриса угла.

6. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.

7. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30⁰.

8. Неравенство треугольника. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.

9. Следствие из неравенства треугольника. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом послед­него.

10. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

11. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

12. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

13. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и на­клонные, то

1) перпендикуляр короче наклонных;

2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

14. Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.

Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольни­ка параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине.

15. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пере­секаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вер­шины.

21. а) Если медиана треугольника равна половине стороны, к кото­рой она проведена, то треугольник прямоугольный.

б) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

22. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

23. Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

24. Теорема о пропорциональных отрезках (Обобщенная теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные от­резки.

Подобие. Признаки подобия треугольников.

1) Если две стороны одного треугольника соответственно пропорци­ональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.

3) Если три стороны одного треугольника соответственно пропорци­ональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

26. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треуголь­нике.

1) Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипоте­нузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.

2) Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умно­женному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла.

27. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного тре­угольника равен сумме квадратов катетов.

28. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат стороны тре­угольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треуголь­ник - прямоугольный.

29. Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.