Список теоретических вопросов по теме № 2

Подготовка к сдаче экзамена по математике, 2 семестр (август, комиссия)

Структура билета

1. Теоретический вопрос по теме № 1.

2. Теоретический вопрос по теме № 2.

3. Практика по теме «Функции одной переменной: пределы, непрерывность»

4. Практика по теме «Дифференцирование функции одной переменной»

5. Практика по теме «Функции многих переменных»

Список теоретических вопросов по теме № 1

1. Понятие функции, основные характеристики функции (область определения, область значений, график функции, четность, монотонность, периодичность, ограниченность). Способы задания функции.
2. Основные элементарные функции. Обзор функций .
3. Основные элементарные функции. Обзор функций , .
4. Основные элементарные функции. Обзор функций , .
5. Предел числовой последовательности. Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Свойства предела числовой последовательности.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности и их свойства. Примеры.
7. Предел функции в точке. Свойства предела функции. Примеры.
8. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Примеры.
9. Понятие производной функции, её геометрический смысл. Примеры. Таблица производных основных элементарных функций.
10. Понятие производной функции, её геометрический смысл. Примеры. Правила дифференцирования.
11. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Примеры. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
12. Правила Лопиталя. Различные виды неопределенностей при вычислении пределов. Примеры.
13. Точки экстремума функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия существования точек экстремума. Примеры.
14. Возрастание и убывание функции на интервале. Необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции на интервале. Примеры.
15. Выпуклость графика функции на интервале. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие выпуклости вверх (вниз) функции на интервале, существования точек перегиба. Примеры.
16. Асимптоты графика функции . Вертикальные и наклонные асимптоты и способы их нахождения. Примеры.

Список теоретических вопросов по теме № 2

1. Понятие функции многих переменных. Примеры. График функции 2-х переменных. Линии уровня (кривые безразличия). Предел функции 2-х переменных в точке. Непрерывность функции 2-х переменных в точке.
2. Частные и полные приращения функции в точке. Частные производные функции в точке, их геометрический смысл. Примеры.
3. Дифференцируемость функции в точке и ее связь с непрерывностью. Примеры.
4. Полное приращение и полный дифференциал функции в точке, их геометрические смыслы. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры.
5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной как явно, так и неявно. Примеры.
6. Частные производные высших порядков функции . Теорема о смешанных производных одного порядка. Примеры.
7. Градиент функции многих переменных. Свойства градиента. Примеры.
8. Производная по направлению. Способы её вычисления. Связь производной по направлению с градиентом. Примеры.
9. Экстремумы функции . Необходимые условия существования экстремума дифференцируемой функции. Примеры.
10. Экстремумы функции . Достаточные условия существования экстремума дифференцируемой функции. Примеры.

Практика по теме «Функции одной переменной: пределы, непрерывность» (примерные задачи):

1. Исследовать функцию на непрерывность. Указать точки разрыва и их род, если они имеются: .
2. Исследовать функцию на непрерывность. Указать точки разрыва и их род, если они имеются: .
3. Используя только график функции указать её точки разрыва и определить их род .
4. Вычислить предел .
5. Вычислить предел .
6. Вычислить предел .
7. Найти вертикальные асимптоты графика функции .
8. Найти наклонные асимптоты графика функции .
9. Найти односторонние пределы функции в точке и выяснить характер разрыва в этой точке.
10. Найти односторонние пределы функции в точке и выяснить характер разрыва в этой точке.

Практика по теме «Дифференцирование функции одной переменной» (примерные задачи):

1. Найти дифференциал функции в точке , если .
2. Найти уравнение касательной к графику функции в точке .
3. Составить уравнение нормали к графику функции в точке .
4. Найти точки экстремума функции .
5. Найти точки перегиба графика функции .
6. Найти , если функция задана параметрически .
7. Вычислить приближенно значение числового выражения .
8. Построить схематично график функции в окрестности точки М(1;-2), если известно что , .
9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;1].
10. Какой эскиз соответствует поведению функции y(x) в окрестности точки М, y’(M)=0, y’’(M)>0?

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

Практика по теме «Функции многих переменных» (примерные задачи):

1. Найти и построить семейство линий уровня функции .
2. Найти производную функции в точке в направлении наибыстрейшего роста функции.
3. Найти производную функции в точке в направлении вектора .
4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющим с осью Ох угол в .
5. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением в точке М(1;1;3).
6. Найти точки экстремума функции .
7. Найти в точке , если , , .
8. Найти в точке , если , , .
9. Найти , если , .
10. Составить уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением в точке .
11. Найти , если , .
12. Найти , если , , , .