Интеграл Римана, Лебега и интеграл в смысле главного значения.

Часть 1.

Интеграл – одно из центральных понятий математического анализа и всей математики, возникновение которого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по её производной; о вычислении площади, заключенной между графиками функции на отрезке и осью абсцисс. Указанные две задачи приводят к двум видам интегралов: определённому и неопределенному.

В ходе развития математики и под влиянием потребностей естествознания и техники понятие неопределённого интеграла и определённого интеграла подвергались ряду обобщений и изменений.

Неопределённый интеграл – совокупность всех первообразных на интервале функции : . Согласно основной теореме интегрального исчисления, для каждой непрерывной на отрезке функции существует на соответствующем интервале первообразная и, следовательно, неопределенный интеграл. Если - одна из первообразных функции на , то , где - произвольная постоянная.

Следует отметить, что здесь множество значений связное. На несвязном множестве неверно утверждение о том, что все первообразные непрерывной функции отличаются на константу. Так равенство , рассматриваемое на объединении лучей , вообще говоря, неверно. Например, на этом множестве первообразными функции являются функции и . Их разность не является константой.

Определённый интеграл. Понятие определённого интеграла вводится как предел интегральных сумм. Для непрерывной на отрезке функции понятие определённого интеграла впервые было введено Коши в его работе 1823 года: для разбиений . Это частный случай определённого интеграла Римана (1853г.). Существенное продвижение в теории определённого интеграла принадлежит Дарбу, который ввёл наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (1879г.). Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману разрывных функций установлено в 1902г. Лебегом.

Между определённым интегралом от непрерывной на отрезке функции и неопределённым интегралом (то есть первообразной) этой функции существует следующая связь:

1) Если - любая первообразная функции , то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

;

2) Для любого неопределённый интеграл непрерывной функции записывается в виде:

где – произвольная постоянная. В частности, определённый интеграл с переменным верхним пределом представляет собой первообразную функцию .

Определённый интеграл Лебега. Для введения определённого интеграла от функции в смысле Лебега разбивают множество значений на частичные отрезки точками и обозначают через множество всех значений , для которых , а через – меру множества в смысле Лебега. Интегральную сумму Лебега функции на отрезке определяют равенством , где – любое число из отрезка .

Функцию называют интегрируемой в смысле Лебега на отрезке , если существует предел её интегральных сумм при стремлении к нулю . То есть если существует такое число , что для любого найдется такое, что при единственном условии справедливо неравенство . При этом указанный предел называют определённым интегралом Лебега от функции по отрезку .

Вместо отрезка логично рассматривать произвольное множество, измеримое относительно некоторой неотрицательной полной счётно-аддитивной меры. Возможно и другое определение интеграла Лебега, когда этот интеграл первоначально определяют на множестве так называемых простых функций (то есть измеримых функций, принимающих не более счётного множества значений), а затем с помощью операции предельного перехода расширяют понятие интеграла для произвольной функции, представляющей собой предел равномерно сходящейся последовательности простых функций (равномерной сходимости достаточно почти всюду).

Каждая интегрируемая в смысле Римана функция ограничена и интегрируема в смысле Лебега. Обратное утверждение неверно, ибо существуют разрывные на множестве положительной меры и вместе с тем ограниченные интегрируемые в смысле Лебега функции (например, функция Дирихле.) Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции необходимо и достаточно, чтобы эта функция принадлежала классу измеримых функций. Функции, встречающиеся в математическом анализе, как правило, измеримы. Это означает, что интеграл Лебега обладает общностью, исчерпывающей потребности анализа.

Интеграл Лебега охватывает и все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов.

Несобственный интеграл – интеграл от неограниченной функции или от функции по неограниченному множеству. Пусть функция определена на конечном или бесконечном полуинтервале , , и для любого , функция интегрируема по Риману (по Лебегу) на отрезке . Несобственным интегралом называют

(в случае условие ). Если предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если не существует – расходится. Например, несобственный интеграл:

, ,

сходится при , а при расходится. Если же , то сходится при и расходится при .

Если и функция интегрируема по Риману (по Лебегу) на отрезке , то несобственный интеграл совпадёт с определённым интегралом. Аналогично при соответствующих предположениях определяют несобственный интеграл по промежутку , : .

Если функция интегрируема по Риману (по Лебегу) на каждом отрезке , и существуют несобственные интегралы и , то существует несобственный интеграл и он не зависит от выбора точки .

Например, сходится при любых и расходится при .

Если на интервале имеется конечное число точек , , таких, что функция интегрируема по Риману (по Лебегу) на каждом отрезке , не содержащем ни одной точки , и для каждого , существует несобственный интеграл , то несобственный интеграл . Это определение не зависит от выбора точек .

На несобственные интегралы переносятся общие свойства интегралов: линейность, аддитивность относительно промежутков, по которым производится интегрирование, правило интегрирования неравенств, теоремы о среднем, интегрирование по частям и замены переменного, формула Ньютона-Лейбница. Например, если функция почти всюду на совпадает с производной функции , которая абсолютно непрерывна на каждом отрезке , ,то . Конкретный пример: .

Для выяснения сходимости несобственного интеграла от знакопостоянных функций применяется признак сравнения. Например, известно, что при , , , , тогда из сходимости несобственного интеграла следует сходимость несобственного интеграла . Функция называется в этом случае функцией сравнения. В качестве функции сравнения часто используется степенная функция, что продемонстрировано в приведённых примерах.

Необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла даёт критерий Коши. Так, несобственный интеграл на сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое , что для всех , выполняется неравенство .

Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл .

Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он сходится и совпадает с интегралом Лебега. Существуют несобственные интегралы сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся. Например, для конечного промежутка несобственный интеграл , а для бесконечного .

Существуют различные признаки сходимости несобственного интеграла. Например, если на полуоси функция имеет ограниченную первообразную, а – монотонная функция, стремящаяся к нулю при , то интеграл сходится. Другой признак: если несобственный интеграл сходится, а функция монотонна и ограничена при , то несобственный интеграл сходится.

Сходимость несобственного интеграла можно выразить в терминах сходящихся рядов. Например, для того, чтобы несобственный интеграл по сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности , сходился ряд , причем в случае сходимости ряда его сумма совпадает с несобственным интегралом.

Понятие несобственного интеграла обобщается для функций многих переменных.

Определение. Функция , определенная на открытом (ограниченном или неограниченном) множестве называется интегрируемой в несобственном смысле по множеству , если для любой последовательности измеримых по Жордану множеств таких, что , , существует , не зависящий от выбора указанной последовательности. Этот предел, если он существует, называется несобственным интегралом . При он существует тогда и только тогда, когда существует несобственный интеграл .

Итак, в отличие от одномерного случая в многомерной области функция интегрируема в несобственном смысле тогда и только тогда, когда она абсолютно несобственно интегрируема. То есть в многомерном случае интеграл Римана, понимаемый в определенном смысле или несобственном смысле, является интегралом Лебега.

В приложениях часто возникают повторные интегралы. Связь между кратными и повторными интегралами Лебега устанавливает

Теорема Фубини. Пусть ограниченная n-мерная область переменных , а ограниченная m-мерная область переменных , в ограниченной области (n+m)-мерного пространства переменных (x,y) задана функция f(x,y). Если функцияf(x,y) интегрируема по , то f(x,y) для почти всех интегрируема по , для почти всех f(x,y) интегрируема по , функции и интегрируемы по и по соответственно и

.

Отметим, что из существования повторных интегралов, вообще говоря, не следует их равенство и существование двойного интеграла. На практике обычно пользуются следствием теоремы Фубини: если функция f(x,y) неотрицательна, то из существования хотя бы одного повторного интеграла следует существование двойного: , а тогда справедлива теорема Фубини, то есть существует второй повторный интеграл и выполнено равенство всех трех интегралов.

К несобственным интегралам относятся интегралы в смысле главного значения.

Определение. Пусть функция определена на открытом множестве кроме, может быть, точки , и пусть для любого функция интегрируема по Риману или по Лебегу на множестве где - шар радиуса с центром . Тогда, если существует , то его называют интегралом в смысле главного значения и обозначают .

Если существует несобственный интеграл , то он существует и в смысле главного значения. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, несобственный интеграл расходится, а . Аналогично определяется интеграл в смысле главного значения в бесконечности:

Общность, достигнутая определением интеграла в смысле Лебега, весьма существенна во многих вопросах современного математического анализа: теория обобщенных функций, определение обобщенных решений дифференциальных уравнений, изоморфизм гильбертовых пространств и . Все эти теории оказались возможными только при понимании интеграла в смысле Лебега.

Первообразную в смысле Лебега определяют равенством , в котором интеграл понимается в смысле Лебега. При таком понимании равенство будет справедливо почти всюду. В частности, это равенство выполнено во всех точках непрерывности функции .

Понятие неопределенного, определенного интегралов и интеграла в смысле главного значения переносятся на случай функций комплексного переменного.