Следствия из теоремы Коши

Следствие 1. Теорема 11 (теорема Коши для многосвязной области).

Если функция аналитическая в многосвязной области D, ограниченной контуром L и внутренними по отношению к нему контурами l ₁, l ₂,…, l _k и непрерывна в замкнутой области (рис. 32), где знаки в верхних индексах означают направления обходов, то

или . (21)

или , (рис. 33). (21^/)

Следствие 2. Интегралы от аналитических функций вдоль любых двух кусочно-гладких кривых с общим началом z ₀ и концом z ₁ равны.

, если замкнутый контур (рис. 34).

Следствие 3. Интеграл от аналитической функции, заданной в односвязной области D, зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования:

Следствие 4. Интеграл при фиксированном z ₀ является функцией верхнего предела: Ф (z), где Ф (z) является аналитической в области D и Ф ^/(z) = f (z). Следствие 5. Если – аналитическая функция в односвязной области D, то Ф (z) называется первообразной или неопределенным интегралом от функции , причем если F (z) – одна из первообразных для , то . (22)

Теорема 12 (интегральная формула Коши).

Значение функции , аналитической в односвязной области D, в особой точке определяется ее значениями на любом замкнутом кусочно-гладком контуре l, охватывающем точку z ₀ , целиком лежащем вместе со своей внутренностью в области D (рис. 35), и вычисляется по формуле:

.

При этом функция имеет всюду в D производные любого порядка, для которых справедливы формулы:

k =1, 2,… (23)

Замечание 1. Из формулы (23) можно найти значение криволинейного интеграла вида:

, (24)

где z ₀ – особая точка функции , лежащая внутри контура l.

Замечание 2.

Следствие (из теоремы 12). Если функция аналитическая в замкнутой односвязной области , где L – граница области D, , то имеет место формула:

Замечание. При вычислении интеграла вида , где аналитическая функция в односвязной области , – многочлен, не имеющий нулей на контуре L, удобно пользоваться правилами:

1) Если в области D нет нулей многочлена , то по формуле (20) .

2) Если в области D расположен один простой нуль z = z ₀ многочлена , тогда , где f (z) – аналитическая функция в области .

3) Если в области D расположен один кратный нуль z = z ₀ многочлена кратности k, тогда , где f (z) – аналитическая функция в области .

4) Если в области D расположено два нуля z = z ₁, z = z ₂ многочлена , то по формуле (21) , где l ₁ и l ₂ – границы непересекающихся окрестностей точек z = z ₁, z = z ₂.

Теорема 13 (теорема Лиувилля).

Если функция аналитическая и ограниченная во всей плоскости Гаусса, то .

Пример 3. В ычислить интеграл по заданному контуру: , где : .

Решение.

Контур L: – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом . D – область внутри окружности (рис. 36).

Найдем особые точки подынтегральной функции , т.е. точки, где знаменатель обращается в нуль: , особые точки. Данные точки не лежат внутри контура интегрирования L (рис. 35), т.е. . Следовательно, по теореме Коши (формула 19 или по правилу 1 замечания),

Пример 4. В ычислить интеграл по заданному контуру: .

Решение.

– уравнение окружности с центром в точке z = i и радиусом 1. D ₁ – область внутри окружности (рис. 37). , особые точки подынтегральной функции (нашли в примере 3). Из них точка , точка .

Поэтому рассмотрим многосвязную область D, ограниченную окружностью и внутренним контуром (рис. 38).

Тогда в этой области функция аналитическая, и по следствию 1 (теореме Коши для многосвязной области (формула (21^/)) можем записать, что , т.е. = .

Данный интеграл вычислим при помощи интегральной формулы Коши (24): . Для этого выделим в знаменателе особую точку: = (k = 0, ) = =

Замечание. Данный пример можно решить, используя следствие к теореме 12, не выделяя внутреннюю область, ограниченную контуром l или по правилу 2 предыдущего замечания.

Пример 5. В ычислить интеграл по заданному контуру: .

Решение.

– уравнение окружности с центром в точке z = i и радиусом 3. D ₁ – область внутри окружности (рис. 39).

, особые точки функции (нашли в примере 3). Они обе лежат внутри контура. Поэтому рассмотрим многосвязную область D, ограниченную окружностью и двумя внутренними контурами и (рис. 40).

Тогда в этой области функция аналитическая, и по следствию 1 (теореме Коши для многосвязной области (формула (21^/)) можем записать, что , т.е.

= = (выделим в знаменателях особые точки) =

= +

= .

Пример 6. В ычислить интеграл по заданному контуру: .

Решение.

– уравнение окружности с центром в точке z = – i и радиусом 2. D ₁ – область внутри окружности (рис. 41).

Найдем особые точки: , – особые точки, причем имеет кратность равную 2.

Знаменатель обращается в нуль внутри контура в особой точке вторая особая точка . Тогда в области D функция аналитическая, за исключением нуля, и по следствию к теореме 12 или правилу 3 из замечания к следствию можем записать, что

= (k = 1, ) =

= .