Глава 2
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Основные свойства определенных интегралов
и их вычисление
1. Пусть на отрезке [ a, b ] определена функция f (x). Интегральной суммой называется
,
где a < x 0 < x 1 <… < xn = b, ∆ xi = xi –1 – xi, ξ i Î [ xi –1, xi ], i = 1, 2, …, n.
Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [ a, b ] называется предел интегральных сумм
,
при условии, что предел не зависит от выбора точек ξ i Î[ xi -1, xi ] и способов разбиения отрезка на части.
Если этот предел существует, функция называется интегрируемой на отрезке [ a, b ]. Известно, что непрерывные на отрезке функции интегрируемы. Интегрируемыми будут также ограниченные на отрезке функции, имеющие конечное число разрывов первого рода.
Перечислим основные свойства определенных интегралов.
1. .
2. По определению считают, что
, , a < b.
3. Линейные свойства определенного интеграла
,
где C 1 и C 2 – постоянные.
4. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ], то она будет интегрируемой на любом отрезке [a, b] Ì [ a, b ].
5. Аддитивность определенного интеграла. Пусть a, b, c – некоторые числа. A = min{ a, b, c }, B = max{ a, b, c } и пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [ A, B ]. Тогда выполняется равенство
.
6. Если f (x) ≤ g (x) на [ a, b ], то
.
В частности, если f (x) ³ 0 на [ a, b ], то
.
Теорема о среднем. Если функция f (x) непрерывна на отрезке
[ a, b ], то на этом отрезке найдется такая точка x 0, что
.
Определенный интеграл при f (x) ³ 0 на отрезке [ a, b ] численно равен площади криволинейной трапеции
D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}.
В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.
Формула Ньютона–Лейбница. Если F (x) – первообразная функции f (x), то определенный интеграл от f (x)по отрезку [ a, b ] можно вычислить по формуле Ньютона–Лейбница
.
Формула Ньютона – Лейбница позволяет привлекать для вычисления определенных интегралов все приемы и методы, используемые при вычислении неопределенных интегралов. Формула Ньютона – Лейбница есть следствие следующего утверждения.
Если F (x) есть первообразная функции f (x) на отрезке [ a, b ], то в каждой точке x Î (a, b) непрерывности функции f (x) выполняется равенство
.
Из этого утверждения и теоремы о дифференцировании сложной функции следует, что
.
Аналогичные утверждения справедливы также и для переменного нижнего предела интеграла: в каждой точке x непрерывности функции f (x) выполняется равенство
.
Если функцияj (x) дифференцируема на интервале [a, b] и такая, что t = j (x) Î (a, b) при x Î (a, b), то выполняется равенство
.
Из утверждений о дифференцировании интеграла с переменными пределами и из свойства аддитивности определенного интеграла следует, что
.
Рассмотрим примеры.
Вычислить с помощью формулы Ньютона–Лейбница интегралы.
1.1. .
Решение. Используя линейные свойства интеграла и табличные интегралы, находим первообразную и вычисляем интеграл
.
1.2. .
Решение. Находим первообразную и применяем формулу Ньютона–Лейбница.
.
1.3. .
Решение. Ищем первообразную для функции и применяем формулу Ньютона–Лейбница
= = = ln2 – ln1 = ln2.
1.4. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
а) или ;
б) или .
Решение.
а) Поскольку при 0 < x < 1 выполняется 0< x 2 < x, то в силу свойств показательной функции выполняется . Тогда из свойства 6 определенных интегралов следует
≤ .
б) При 1 < x < 2 выполняется x ≤ x 2. Тогда и, следовательно,
≤ .
1.5. Оценить интеграл
.
Решение. Так как при 0 ≤ x ≤ 1 выполняется
≤ ≤ 1,
то из неравенств
≤ ≤ x 9
и свойств интеграла следует
≤ ≤ ,
откуда, учитывая, что – первообразная для x 9, находим
≤ ≤ .
1.6. Найти производную по x от следующих функций:
а) б)
в) , x > 1; г) , x Î(0, ¥).
Решение.
а) ; б) ;
в) = = ;
г)
.
Часто, если это не приводит к недоразумениям, пишут , а не . Мы, следуя традиции, будем писать так же.
1.7. Найти пределы:
а) ; б) .
Решение.
а) Так как , то имеем неопределенность вида . Применим правило Лопиталя:
= = cos 0 = 1.
б) В этом примере также применим правило Лопиталя:
= = = = 1.
1.8. Найти многочлен P (x) наименьшей степени, имеющий минимум, равный –25 при x = 2, и максимум, равный 2 при x = –1.
Решение. Многочлен есть дифференцируемая функция на всей числовой оси. Поэтому точки экстремума могут быть только среди корней производной P ¢(x), которая также есть многочлен. Поскольку нам известно, что P ¢(–1) = 0 и P ¢(2) = 0, то P ¢(x) есть многочлен степени не меньше двух. Значит, P ¢(x) следует искать среди многочленов второй степени. Тогда P ¢(x) = a (x + 1)(x – 2) = ax 2– ax – 2 a. Отсюда находим
P (x) = = .
Так как по условию P (–1) = 2, P (2) = –25, мы получаем систему уравнений для нахождения a и C:
P (–1) = 2 = ,
P (2) = –25 =
или
2 = ,
–25 = .
Решая систему, находим a = 6, C = –5. Следовательно, P (x) = 2 x 3 – 3 x 2 – – 12 x – 5.
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть на отрезке [ a, b ] определена интегрируемая функция f (x) и пусть функция x = j(t) определена на отрезке [a, b] и имеет на нем непрерывную производную j ¢ (t) и значения x = j(t) принадлежат отрезку [ a, b ], когда t пробегает отрезок [a, b]. Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле
= .
Если функция x = j(t) строго возрастает, то j(a) < j(b), a ≤ t ≤ b, если убывает, то j(a) > j(b). Если x = j(t) возрастает и j(a) = a, j(b) = b, то формула замены переменной принимает вид
= .
Если x = j(t) убывает и j(a) = b, j(b) = a, то формула замены переменной выглядит так:
= .
Отметим, что в отличие от неопределенных интегралов после замены переменной и вычисления интеграла возврат к старой переменной не требуется.
Вычислить следующие интегралы.
1.9. ; 1.10. ;
1.11. ; 1.12. ;
1.13. ; 1.14. ;
1.15. ; 1.16. ;
1.17. ; 1.18. .
Решение.
1.9. Делаем замену переменной cos x = t, –sin x dx = dt; соответствует , соответствует t = 0. Получаем
.
1.10. Делаем замену переменной
= = = .
1.11.
= = = .
1.12.
= = = = .
1.13.
= = =
= = = =
= = .
1.14.
= = = =
= = = .
1.15.
= = = =
= =
1.16.
= = =
= = = –1 + 2 = 1.
1.17.
= = =
= = = = .
1.18.
= = = .
1.19.
А. Доказать, что если f (x) – четная функция, то
= .
Б. Доказать, что если f (x) – нечетная функция, то
= 0.
Решение.
А. Представим интеграл по отрезку [– a, a ] в виде суммы интегралов
= + .
Сделаем в первом интеграле справа замену переменной x = – t. Тогда dx = – dt, x = – a соответствует t = a, x = 0 соответствует t = 0. Отсюда следует
= + .
Так как функция четная, то f (– t)= f (t). Поэтому
= + = 2 .
Б. Как и в примере А, запишем
= + .
Сделаем в первом интеграле справа замену переменной x = – t. Тогда
= – .
Так как функция f нечетная, то f (– t) =– f (t). Поэтому
= = .
Отсюда следует утверждение Б.
1.20. Вычислить интегралы:
а) ;
б) ;
в) .
Решение.
а) f (x) = . Тогда
f (– x) = = = – = – f (x).
Значит, функция f (x) – нечетная и по задаче 1.19 Б I = 0;
б) f (x) = (ex + ex) tg x, f (– x) = (e – x + ex) tg (– x) = – f (x). Согласно результатам задачи 1.19 Б I = 0;
в) f (x) = x sin x 2 + 2 x 2 sin 2 x. Оба слагаемых в этом выражении являются произведениями нечетной функции на четную, т. е. нечетными функциями. Из задачи 1.19 Б следует, что и в этом случае I =0.
Интегрирование по частям
Пусть u и v – функции, определенные на отрезке [ a, b ] и имеющие на нем непрерывные производные u ¢и v ¢. Тогда справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле
= – ,
где = u (b) v (b) – u (a) v (a). Формулу можно переписать в более простом виде
= – .
1.21. Вычислить интегралы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Решение.
а) применяем формулу интегрирования по частям
= = =
= – p cos p+ = p.
б) полагаем u = arccos x. Тогда
, v = x,
и мы получаем
= arcos 1 – = =1;
в) = =
= = =
= = ;
г) = – = =
= = ;
д) этот интеграл, как это часто бывает, можно вычислить разными способами. Если сделать сначала замену переменной = t, то мы придем к интегралу , который после интегрирования по частям приводит к интегралу .
Если сразу применить формулу интегрирования по частям (u =
= arcsin , v = x) то получим
= x arcsin – .
Интеграл в правой части рационализируется подстановкой . Мы вычислим интеграл с помощью подстановки arcsin = t. Тогда x = sin2 t, d x = 2sin t cos t dt= sin2 t dt, x = 0 соответствует t = 0,
x = 1 соответствует . Получаем
= .
Вычислим получившийся интеграл по частям:
= + = = .
Последний способ решения оказался более экономичным по сравнению с двумя рассмотренными выше.
Рекуррентные формулы
В этом пункте мы рассмотрим несколько примеров, в которых с помощью интегрирования по частям получаются рекуррентные формулы для определенных интегралов.
1.22. Вычислим интеграл , где n – натуральное число.
Решение. Разложение подынтегральной функции по формуле бинома Ньютона приводит к громоздким выкладкам. Проще вывести рекуррентную формулу. Представим интеграл In в виде
= – .
Последний интеграл проинтегрируем по частям:
= =
= + = .
Таким образом,
In = .
Отсюда вытекает
In = In -1.
Очевидно, что I 0 = a. Отсюда получаем
In = In –1 = In –2 = In –3 =…
...= a 2n+1 .
Принято обозначать 1×3×5×…×(2 n + 1) = (2 n + 1)!!, 2 ×4 × …×(2 n) = (2 n)!!. Тогда интеграл равен
In = a 2 n +1 .
Замечание. При выводе формулы
In = In -1
нигде не использовалось то, что n – натуральное число. В действительности эта формула справедлива для любых действительных n, отличных от 0 и от .
1.23. Вычислить интеграл , где m – натуральное число.
Решение. Сделаем подстановку :
.
Здесь – интеграл из предыдущей задачи 1.22. Но
Следовательно,
.
Если m – нечетное число, то полученная рекуррентная формула сводит к
,
поэтому при
.
Если – четное число, то рекуррентная формула сводит к
,
поэтому
.
Замечание. С помощью подстановки легко убедиться, что
.
1.24. Вычислить интеграл
,
где ; n – натуральное число.
Решение. Отметим прежде всего, что хотя подынтегральная функция не имеет смысла при , тем не менее, положив , мы получаем функцию, непрерывную на . Действительно,
,
что легко проверяется с помощью правила Лопиталя. Применяем формулу интегрирования по частям:
= – .
Таким образом, получаем
.
Отсюда вытекает
=…= .
Так как
,
то окончательно получаем
.
1.25. Вычислить интеграл
,
где и – целые неотрицательные числа.
Решение. Вычисляем интеграл по частям:
= =
= + .
Отсюда получаем
.
Отметим, что полученная формула справедлива не только для целых и , а для всех и . Если – натуральное число, то, применяя формулу несколько раз, запишем
=…= ,
но
.
Следовательно,
= .
Если – тоже целое неотрицательное число, то отсюда получаем
= = = ,
где – число сочетаний из m + n + 1 по n.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить следующие интегралы.
1.26. ; 1.27. ; 1.28. ;
1.29. ; 1.30. ; 1.31. .
1.32. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
а) или ; б) или ;
в) или .
1.33. Оценить интеграл
.
1.34. Доказать неравенства
1 < < e.
1.35. Найти производную:
а) ; б) ; в) .
1.36. Найти пределы:
а) ; б) .
Вычислить интегралы (1.37)–(1.43)
1.37. . 1.38. . 1.39. .
1.40. . 1.41. . 1.42. ;
1.43. .
Вычислить следующие интегралы, используя пример 1.19:
1.44. ; 1.45. ;
1.46. .
Вычислить следующие интегралы:
1.47. ; 1.48. ;
1.49. ; 1.50. .
1.51. Пусть
, n = 3,4…
Доказать рекуррентную формулу
+ .
1.52. Вычислить интеграл
,
где m, n – целые неотрицательные числа.
§ 2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования
Пусть функция f (x) определена для всех x ³ а и интегрируема на любом отрезке [ a, b ]. Если существует
,
то этот предел называется несобственным интегралом функции f (x) на луче [ a, b) и обозначается . В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f (x) интегрируема в несобственном смысле на [ a, ).
Если предел при b ® ¥ не существует, то интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f (x), x Î(– ¥, b ], с нижним бесконечным пределом интегрирования:
= .
Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования функции f (x), x Î (– ¥, ¥), определяется следующим образом:
= + ,
где c – некоторое число. Предполагается, что на любом отрезке [ A, B ]Ì(– ¥, ¥) существует интеграл в собственном, обычном смысле. Если интеграл существует для некоторого c Î(– ¥, ¥), то он существует и для любого другого c ¢Î(– ¥, ¥) и в этом случае
= + .
Иногда несобственный интеграл от f (x) по (– ¥, ¥) определяют следующим образом:
= .
Можно показать, что оба определения несобственного интеграла эквивалентны.
Основные формулы для несобственных интегралов
Линейность интеграла. Если несобственные интегралы
,
сходятся, то для любых чисел M и N сходится интеграл
,
причем
= + .
Формула Ньютона–Лейбница. Если функция f (x), a ≤ x < ¥, непрерывна и F (x) – какая-либо ее первообразная, то
= = F (+¥) – F (a),
где
F (+ ¥) = .
Формула замены переменной. Пусть f (x), a ≤ x < ¥, – непрерывная функция, j(t), a ≤ t < b, – функция с непрерывной на интервале производной j¢(t), причем
j(a) = a, a < j (t) < ,
тогда
= .
Формула интегрирования по частям. Если u (x) и v (x), a ≤ x < ¥, непрерывно дифференцируемы и существует, то
= – ,
где
= – u (a) v (a).
Перечисленные свойства верны и для интегралов по лучу ( или по прямой
Рассмотрим примеры.
Вычислить следующие интегралы или установить их расходимость.
2.1. . 2.2. . 2.3. .
2.4. . 2.5. . 2.6. .
2.7. , a >0. 2.8. . 2.9. .
Решение.
2.1. = = = .
2.2. = = =
= = .
2.3. = + .
Интеграл в левой части равенства сходится только в том случае, если сходятся