Интегрирование по частям

Глава 2

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Основные свойства определенных интегралов
и их вычисление

1. Пусть на отрезке [ a, b ] определена функция f (x). Интегральной суммой называется

,

где a < x ₀ < x ₁ <… < x_n = b, ∆ x_i = x_{i –1} – x_i, ξ _i Î [ x_{i –1}, x_i ], i = 1, 2, …, n.

Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [ a, b ] называется предел интегральных сумм

,

при условии, что предел не зависит от выбора точек ξ _i Î[ x_{i -1}, x_i ] и способов разбиения отрезка на части.

Если этот предел существует, функция называется интегрируемой на отрезке [ a, b ]. Известно, что непрерывные на отрезке функции интегрируемы. Интегрируемыми будут также ограниченные на отрезке функции, имеющие конечное число разрывов первого рода.

Перечислим основные свойства определенных интегралов.

1. .

2. По определению считают, что

, , a < b.

3. Линейные свойства определенного интеграла

,

где C ₁ и C ₂ – постоянные.

4. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ], то она будет интегрируемой на любом отрезке [a, b] Ì [ a, b ].

5. Аддитивность определенного интеграла. Пусть a, b, c – некоторые числа. A = min{ a, b, c }, B = max{ a, b, c } и пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [ A, B ]. Тогда выполняется равенство

.

6. Если f (x) ≤ g (x) на [ a, b ], то

.

В частности, если f (x) ³ 0 на [ a, b ], то

.

Теорема о среднем. Если функция f (x) непрерывна на отрезке
[ a, b ], то на этом отрезке найдется такая точка x ₀, что

.

Определенный интеграл при f (x) ³ 0 на отрезке [ a, b ] численно равен площади криволинейной трапеции

D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}.

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Формула Ньютона–Лейбница. Если F (x) – первообразная функции f (x), то определенный интеграл от f (x)по отрезку [ a, b ] можно вычислить по формуле Ньютона–Лейбница

.

Формула Ньютона – Лейбница позволяет привлекать для вычисления определенных интегралов все приемы и методы, используемые при вычислении неопределенных интегралов. Формула Ньютона – Лейбница есть следствие следующего утверждения.

Если F (x) есть первообразная функции f (x) на отрезке [ a, b ], то в каждой точке x Î (a, b) непрерывности функции f (x) выполняется равенство

.

Из этого утверждения и теоремы о дифференцировании сложной функции следует, что

.

Аналогичные утверждения справедливы также и для переменного нижнего предела интеграла: в каждой точке x непрерывности функции f (x) выполняется равенство

.

Если функцияj (x) дифференцируема на интервале [a, b] и такая, что t = j (x) Î (a, b) при x Î (a, b), то выполняется равенство

.

Из утверждений о дифференцировании интеграла с переменными пределами и из свойства аддитивности определенного интеграла следует, что

.

Рассмотрим примеры.

Вычислить с помощью формулы Ньютона–Лейбница интегралы.

1.1. .

Решение. Используя линейные свойства интеграла и табличные интегралы, находим первообразную и вычисляем интеграл

.

1.2. .

Решение. Находим первообразную и применяем формулу Ньютона–Лейбница.

.

1.3. .

Решение. Ищем первообразную для функции и применяем формулу Ньютона–Лейбница

= = = ln2 – ln1 = ln2.

 

1.4. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:

а) или ;

б) или .

Решение.

а) Поскольку при 0 < x < 1 выполняется 0< x ² < x, то в силу свойств показательной функции выполняется . Тогда из свойства 6 определенных интегралов следует

≤ .

б) При 1 < x < 2 выполняется x ≤ x ². Тогда и, следова­тельно,

≤ .

1.5. Оценить интеграл

.

Решение. Так как при 0 ≤ x ≤ 1 выполняется

≤ ≤ 1,

то из неравенств

≤ ≤ x ⁹

и свойств интеграла следует

≤ ≤ ,

откуда, учитывая, что – первообразная для x ⁹, находим

≤ ≤ .

1.6. Найти производную по x от следующих функций:

а) б)

в) , x > 1; г) , x Î(0, ¥).

Решение.

а) ; б) ;

в) = = ;

г)

.

Часто, если это не приводит к недоразумениям, пишут , а не . Мы, следуя традиции, будем писать так же.

1.7. Найти пределы:

а) ; б) .

Решение.

а) Так как , то имеем неопределенность вида . Применим правило Лопиталя:

= = cos 0 = 1.

б) В этом примере также применим правило Лопиталя:

= = = = 1.

1.8. Найти многочлен P (x) наименьшей степени, имеющий минимум, равный –25 при x = 2, и максимум, равный 2 при x = –1.

Решение. Многочлен есть дифференцируемая функция на всей числовой оси. Поэтому точки экстремума могут быть только среди корней производной P ¢(x), которая также есть многочлен. Поскольку нам известно, что P ¢(–1) = 0 и P ¢(2) = 0, то P ¢(x) есть многочлен степени не меньше двух. Значит, P ¢(x) следует искать среди многочленов второй степени. Тогда P ¢(x) = a (x + 1)(x – 2) = ax ²– ax – 2 a. Отсюда находим

P (x) = = .

Так как по условию P (–1) = 2, P (2) = –25, мы получаем систему уравнений для нахождения a и C:

P (–1) = 2 = ,

P (2) = –25 =

или

2 = ,

–25 = .

Решая систему, находим a = 6, C = –5. Следовательно, P (x) = 2 x ³ – 3 x ² – – 12 x – 5.

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть на отрезке [ a, b ] определена интегрируемая функция f (x) и пусть функция x = j(t) определена на отрезке [a, b] и имеет на нем непрерывную производную j ¢ (t) и значения x = j(t) принадлежат отрезку [ a, b ], когда t пробегает отрезок [a, b]. Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле

= .

Если функция x = j(t) строго возрастает, то j(a) < j(b), a ≤ t ≤ b, если убывает, то j(a) > j(b). Если x = j(t) возрастает и j(a) = a, j(b) = b, то формула замены переменной принимает вид

= .

Если x = j(t) убывает и j(a) = b, j(b) = a, то формула замены переменной выглядит так:

= .

Отметим, что в отличие от неопределенных интегралов после замены переменной и вычисления интеграла возврат к старой переменной не требуется.

 

Вычислить следующие интегралы.

1.9. ; 1.10. ;

1.11. ; 1.12. ;

1.13. ; 1.14. ;

1.15. ; 1.16. ;

1.17. ; 1.18. .

Решение.

1.9. Делаем замену переменной cos x = t, –sin x dx = dt; соответствует , соответствует t = 0. Получаем

.

1.10. Делаем замену переменной

= = = .

1.11.

= = = .

1.12.

= = = = .

1.13.

= = =

= = = =

= = .

1.14.

= = = =

= = = .

1.15.

= = = =

= =

1.16.

= = =

= = = –1 + 2 = 1.

1.17.

= = =

= = = = .

1.18.

= = = .

1.19.

А. Доказать, что если f (x) – четная функция, то

= .

Б. Доказать, что если f (x) – нечетная функция, то

= 0.

Решение.

А. Представим интеграл по отрезку [– a, a ] в виде суммы интегралов

= + .

Сделаем в первом интеграле справа замену переменной x = – t. Тогда dx = – dt, x = – a соответствует t = a, x = 0 соответствует t = 0. Отсюда следует

= + .

Так как функция четная, то f (– t)= f (t). Поэтому

= + = 2 .

Б. Как и в примере А, запишем

= + .

Сделаем в первом интеграле справа замену переменной x = – t. Тогда

= – .

Так как функция f нечетная, то f (– t) =– f (t). Поэтому

= = .

Отсюда следует утверждение Б.

1.20. Вычислить интегралы:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) f (x) = . Тогда

f (– x) = = = – = – f (x).

Значит, функция f (x) – нечетная и по задаче 1.19 Б I = 0;

б) f (x) = (e^x + e^x) tg x, f (– x) = (e ^{– x} + e^x) tg (– x) = – f (x). Согласно результатам задачи 1.19 Б I = 0;

в) f (x) = x sin x ² + 2 x ² sin 2 x. Оба слагаемых в этом выражении являются произведениями нечетной функции на четную, т. е. нечетными функциями. Из задачи 1.19 Б следует, что и в этом случае I =0.

Интегрирование по частям

Пусть u и v – функции, определенные на отрезке [ a, b ] и имеющие на нем непрерывные производные u ¢и v ¢. Тогда справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле

= – ,

где = u (b) v (b) – u (a) v (a). Формулу можно переписать в более простом виде

= – .

1.21. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Решение.

а) применяем формулу интегрирования по частям

= = =

= – p cos p+ = p.

б) полагаем u = arccos x. Тогда

, v = x,

 

и мы получаем

= arcos 1 – = =1;

в) = =

= = =

= = ;

г) = – = =

= = ;

д) этот интеграл, как это часто бывает, можно вычислить разными способами. Если сделать сначала замену переменной = t, то мы придем к интегралу , который после интегрирования по частям приводит к интегралу .

Если сразу применить формулу интегрирования по частям (u =
= arcsin , v = x) то получим

= x arcsin – .

Интеграл в правой части рационализируется подстановкой . Мы вычислим интеграл с помощью подстановки arcsin = t. Тогда x = sin² t, d x = 2sin t cos t dt= sin2 t dt, x = 0 соответствует t = 0,
x = 1 соответствует . Получаем

= .

Вычислим получившийся интеграл по частям:

= + = = .

Последний способ решения оказался более экономичным по сравнению с двумя рассмотренными выше.

 

Рекуррентные формулы

В этом пункте мы рассмотрим несколько примеров, в которых с помощью интегрирования по частям получаются рекуррентные формулы для определенных интегралов.

1.22. Вычислим интеграл , где n – натуральное число.

Решение. Разложение подынтегральной функции по формуле бинома Ньютона приводит к громоздким выкладкам. Проще вывести рекуррентную формулу. Представим интеграл I_n в виде

= – .

 

 

Последний интеграл проинтегрируем по частям:

= =

= + = .

Таким образом,

I_n = .

Отсюда вытекает

I_n = I_{n -1}.

Очевидно, что I ₀ = a. Отсюда получаем

I_n = I_{n –1} = I_{n –2} = I_{n –3} =…

...= a ^{2n+1 .}

Принято обозначать 1×3×5×…×(2 n + 1) = (2 n + 1)!!, 2 ×4 × …×(2 n) = (2 n)!!. Тогда интеграл равен

I_n = a ^{2 n +1} .

Замечание. При выводе формулы

I_n = I_{n -1}

нигде не использовалось то, что n – натуральное число. В действительности эта формула справедлива для любых действительных n, отличных от 0 и от .

1.23. Вычислить интеграл , где m – натуральное число.

Решение. Сделаем подстановку :

.

Здесь – интеграл из предыдущей задачи 1.22. Но

Следовательно,

.

Если m – нечетное число, то полученная рекуррентная формула сводит к

,

поэтому при

.

Если – четное число, то рекуррентная формула сводит к

,

поэтому

.

Замечание. С помощью подстановки легко убедиться, что

.

1.24. Вычислить интеграл

,

где ; n – натуральное число.

Решение. Отметим прежде всего, что хотя подынтегральная функция не имеет смысла при , тем не менее, положив , мы получаем функцию, непрерывную на . Действительно,

,

что легко проверяется с помощью правила Лопиталя. Применяем формулу интегрирования по частям:

= – .

Таким образом, получаем

.

Отсюда вытекает

=…= .

Так как

,

то окончательно получаем

.

1.25. Вычислить интеграл

,

где и – целые неотрицательные числа.

Решение. Вычисляем интеграл по частям:

= =

= + .

Отсюда получаем

.

Отметим, что полученная формула справедлива не только для целых и , а для всех и . Если – натуральное число, то, применяя формулу несколько раз, запишем

=…= ,

но

.

Следовательно,

= .

Если – тоже целое неотрицательное число, то отсюда получаем

= = = ,

где – число сочетаний из m + n + 1 по n.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие интегралы.

1.26. ; 1.27. ; 1.28. ;

1.29. ; 1.30. ; 1.31. .

1.32. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:

а) или ; б) или ;

в) или .

1.33. Оценить интеграл

.

1.34. Доказать неравенства

1 < < e.

1.35. Найти производную:

а) ; б) ; в) .

1.36. Найти пределы:

а) ; б) .

Вычислить интегралы (1.37)–(1.43)

1.37. . 1.38. . 1.39. .

1.40. . 1.41. . 1.42. ;

1.43. .

Вычислить следующие интегралы, используя пример 1.19:

1.44. ; 1.45. ;

1.46. .

Вычислить следующие интегралы:

1.47. ; 1.48. ;

1.49. ; 1.50. .

1.51. Пусть

, n = 3,4…

Доказать рекуррентную формулу

+ .

1.52. Вычислить интеграл

,

где m, n – целые неотрицательные числа.

§ 2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования

Пусть функция f (x) определена для всех x ³ а и интегрируема на любом отрезке [ a, b ]. Если существует

,

то этот предел называется несобственным интегралом функции f (x) на луче [ a, b) и обозначается . В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f (x) интегрируема в несобственном смысле на [ a, ).

Если предел при b ® ¥ не существует, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f (x), x Î(– ¥, b ], с нижним бесконечным пределом интегрирования:

= .

Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования функции f (x), x Î (– ¥, ¥), определяется следующим образом:

= + ,

где c – некоторое число. Предполагается, что на любом отрезке [ A, B ]Ì(– ¥, ¥) существует интеграл в собственном, обычном смысле. Если интеграл существует для некоторого c Î(– ¥, ¥), то он существует и для любого другого c ¢Î(– ¥, ¥) и в этом случае

= + .

Иногда несобственный интеграл от f (x) по (– ¥, ¥) определяют следующим образом:

= .

 

Можно показать, что оба определения несобственного интеграла эквивалентны.

Основные формулы для несобственных интегралов

Линейность интеграла. Если несобственные интегралы

,

сходятся, то для любых чисел M и N сходится интеграл

,

причем

= + .

Формула Ньютона–Лейбница. Если функция f (x), a ≤ x < ¥, непрерывна и F (x) – какая-либо ее первообразная, то

= = F (+¥) – F (a),

где

F (+ ¥) = .

Формула замены переменной. Пусть f (x), a ≤ x < ¥, – непрерывная функция, j(t), a ≤ t < b, – функция с непрерывной на интервале производной j¢(t), причем

j(a) = a, a < j (t) < ,

тогда

= .

Формула интегрирования по частям. Если u (x) и v (x), a ≤ x < ¥, непрерывно дифференцируемы и существует, то

= – ,

где

= – u (a) v (a).

Перечисленные свойства верны и для интегралов по лучу ( или по прямой

 

Рассмотрим примеры.

Вычислить следующие интегралы или установить их расходимость.

2.1. . 2.2. . 2.3. .

2.4. . 2.5. . 2.6. .

2.7. , a >0. 2.8. . 2.9. .

Решение.

2.1. = = = .

2.2. = = =

= = .

2.3. = + .

Интеграл в левой части равенства сходится только в том случае, если сходятся