Гипергеометрическое распределение




Классическая формула вероятности

Пусть событию А благоприятствуют исходов из общего числа равновероятных взаимно исключающих исходов. Тогда

Событие В называется достоверным, если число благоприятных для В исходов равно общему числу исходов для данного опыта.

Событие С называется невозможным, если в рамках данного опыта для события С нет благоприятных исходов.

Так как число благоприятных исходов не может превышать общее число исходов,

,

то вероятность любого случайного события А удовлетворяет неравенству

 

Непосредственный подсчет исходов

ПРИМЕР. Опыт: подбрасывание игрального кубика.

Найти вероятность следующих событий:

А – выпало нечетное число очков;

В – выпало число очков, не меньшее 5.

 

РЕШЕНИЕ. - общее число исходов.

- число исходов, благоприятствующих событию А.

- число исходов, благоприятствующих событию В.

ПРИМЕР. Опыт: подбрасывание двух игральных кубиков.

Найти вероятность следующих событий:

А – число выпавших очков равно 7;

В – число выпавших очков равно 11;

С – выпало число очков не более 4.

РЕШЕНИЕ. - общее число исходов.

- число исходов, благоприятствующих событию А.

1+6 6+1 2+5 5+2 3+4 4+3

- число исходов, благоприятствующих событию В.

5+6 6+5

- число исходов, благоприятствующих событию С.

1+1 1+2 2+1 1+3 3+1 2+2

ПРИМЕР. Опыт: подбрасывание трех игральных кубиков.

Найти вероятность события А – число выпавших очков равно 7.

РЕШЕНИЕ. - общее число исходов.

- число исходов, благоприятствующих событию А.

1+1+5 1+2+4 1+3+3 1+4+2 1+5+1

2+1+4 2+2+3 2+3+2 2+4+1 3+1+3

3+2+2 3+3+1 4+1+2 4+2+1 5+1+1

Элементы комбинаторики.

Размещения: Пусть из множества элементов выбираются элементов. Такая комбинация с учетом порядка записи и называется размещением. Число размещений определяется формулой

ПРИМЕР: Сколькими способами можно набрать семизначный номер телефона, если все цифры разные?

ПРИМЕР: Сколькими способами можно из 20 членов правления выбрать трех вице-президентов, ответственных за производство, финансы и реализацию продукции?

Перестановка – произвольная упорядоченная запись элементов. Число перестановок определяется формулой

 

Выпишем перестановки из трех элементов.

ПРИМЕР: Сколькими способами можно разместить четверых гостей и хозяина за столом?

Сочетания. Пусть из множества элементов выбираются элементов. Любая такая комбинация без учета порядка записи и называется сочетанием. Число сочетаний равно

ПРИМЕР: Сколькими способами можно из 20 присяжных отобрать трех для участия в судебном процессе?

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана m⋅n способами.

Гипергеометрическое распределение

В ящике находится K стандартных и N−K бракованных деталей (всего N деталей). Наудачу и без возвращения вынимают n деталей. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно k стандартных и n−k бракованных деталей.

Вместо деталей могут фигурировать изделия, болты, телевизоры и т.п.; детали могут быть стандартными и бракованными, или годными и дефектными, или обычными и поломанными и т.д. Главное, чтобы они были ДВУХ типов.

Сначала найдем общее число исходов - это число всех различных способов выбрать любые n деталей из общего множества в N деталей (без учета порядка), то есть число сочетаний

Теперь найдем число всех способов выбрать k стандартных деталей из K возможных - это сочетания и одновременно число всех способов выбрать n−k бракованных деталей из N−K возможных –

По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию.

Применяя классическое определение вероятности - поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, получим:

ПРИМЕР: В ящике из 50 деталей 5 бракованных. Случайным образом из ящика выбраны 6 деталей. Найти вероятность того, что бракованных будет ровно две.

Лекция 2

Алгебра событий.

Пространством элементарных событий называется множество всех элементарных исходов, относящихся к заданному опыту.

Суммой ( или объединением ) двух событий называется событие, которому благоприятствуют исходы, благоприятствующие событиям или .

 

 


 

 

 

ПРИМЕР. При подбрасывании игрального кубика событие - выпало четное число, является суммой трех событий: - выпала “2”; - выпала “4”; - выпала “6”.

 

События и называются несовместными, если нет элементарных исходов, благоприятствующих этим двум событиям одновременно.

 

ПРИМЕР. При подбрасывании игрального кубика событие - выпало четное число и событие - выпала “3” несовместны, а события - выпало нечетное число и - выпала “5” совместные.

 

ТЕОРЕМА. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть из общего числа всех возможных элементарных исходов благоприятствуют событию , а - событию . Так как события и несовместны, число благоприятствующих исходов для события в точности равно . Тогда получим

.

ПРИМЕР. В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих одинаковых по размеру шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом извлеченный из урны, будет цветным (не белым)?

Пусть событие - извлечение красного шара,

событие - извлечение синего шара.

Событие - извлечение цветного шара.

Так как события и несовместны (извлекается только один шар), то по теореме сложения

Произведением ( или пересечением ) двух событий называется событие, которому благоприятствуют исходы, благоприятствующие одновременно событиям и .

 

 

ПРИМЕР. При подбрасывании игрального кубика событие - выпало “5”, ¾ является произведением двух событий: события - выпало нечетное число очков; и события - выпало больше трех очков.

Событие называется противоположным событию , если событию благоприятствуют все те элементарные исходы, которые не являются благоприятствующими для события .

 

 

 

 

 

ПРИМЕР. При подбрасывании игрального кубика событие - выпало четное число очков, является противоположным событию - выпало нечетное число очков.

ТЕОРЕМА. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть событию благоприятствуют элементарных исходов из общего числа исходов. Тогда событию благоприятствуют исходов. То есть

События и несовместны, тогда по теореме о вероятности суммы несовместных событий

ПРИМЕР. Если вероятность попадания в цель при одном выстреле , то вероятность промаха

.

ЗАДАЧА. При проверке качества деталей, выпущенных на заводе, в среднем из 100 деталей оказывается 85 деталей первого сорта и 10 деталей второго сорта. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется бракованной.

- деталь качественная,

- деталь бракованная,

- деталь первого сорта,

- деталь второго сорта.

Вероятности событий и нам заданы

Найдем вероятность того, что деталь бракованная.

ТЕОРЕМА. Если события и совместны, вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть из общего числа исходов благоприятствуют событию , - событию и, так как события и совместные, - число исходов, благоприятствующих и событию и событию . То есть содержится и в и в . Число исходов, благоприятствующее сумме событий равно . Найдем вероятность этой суммы событий.

ЗАДАЧА. Из 20 студентов группы 5 не сдали экзамен по математике, 4 – по информатике, причем 3 получили двойки по двум предметам. Какова вероятность, что случайно выбранный студент будет успевающим?

- студент не имеет двоек,

- студент имеет двойку по математике,

- студент имеет двойку по информатике.

Вероятности событий известны

Тогда вероятность того, что случайно выбранный студент будет неуспевающим

А нам необходимо найти вероятность противоположного события. Так как получим

Лекция 3

Геометрические вероятности.

ОПЫТ: бросание случайным образом точки на отрезок , полагая попадание в любую точку равновозможным.

Пространство элементарных событий – все точки отрезка. Множество элементарных событий бесконечно несчетно. То есть вероятность попадания в какую либо точку . Следовательно, классическая схема неприменима.

Пусть событие - попадание брошенной точки на отрезок .

0

Припишем событию вероятность, пропорциональную длине отрезка .

Рассуждая аналогично, можно говорить о плоских или объёмных фигурах.

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА. Интервал движения автобусов 15 минут. Найти вероятность события - пассажир будет ожидать автобуса не менее 5 минут.

ЗАДАЧА БЮФФОНА. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние . На плоскость наудачу бросают иглу длиной . Найти вероятность события - игла пересечет какую-нибудь прямую.

Решение. Пусть - расстояние от середины иглы до ближайшей параллели, - угол между иглой и этой параллелью.

 

Положение иглы полностью определяется этими двумя параметрами.

Таким образом, середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами и . Этот прямоугольник можно рассматривать в качестве множества элементарных исходов.

Рассмотрим благоприятствующие исходы. Игла пересечет ближайшую к ней параллель, если .

Таким образом, в качестве множества благоприятствующих исходов мы рассматриваем криволинейную трапецию, ограниченную линиями:

 

 

 

0

Вероятность события равна:

ЗАДАЧА О ВСТРЕЧЕ. Два человека условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течении четверти часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый человек наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Решение. Пусть и - время прихода первого и второго человека на встречу.

Этот квадрат можно рассматривать в качестве множества элементарных исходов.

Встреча состоится, если разница времени прихода будет не более 15 минут.

при

при

 

 

 

15 60

Множество благоприятствующих исходов – фигура, заключенная между прямыми и .

Вероятность встречи равна

Условная вероятность.

Иногда необходимо определить вероятность случайного события , при условии что произошло. То, что произошло, сужает пространство элементарных исходов.

Пусть множество состоит из равновозможных исходов. Событию благоприятствуют исходов, событию благоприятствуют исходов. Тогда

Условная вероятность события , при условии что произошло есть вероятность события в новом вероятностном пространстве . Условная вероятность обозначается как или .

Если событие произошло, реализовался один из исходов. То есть множеством всех элементарных исходов для будет , а множеством благоприятных исходов .

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА. Из 30 экзаменационных билетов студент знает 25. Если он отказался отвечать по первому билету, ему разрешают взять второй. Определить вероятность того, что второй билет ему известен.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие - первый билет “плохой”

событие - второй билет “хороший”.

Если произошло событие , из 30 билетов осталось 29, причем известных студенту по-прежнему 25.

ТЕОРЕМА. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого, при условии, что первое уже произошло.

Эта теорема может быть обобщена на любое число множителей.

 

ЗАДАЧА. Студент знает 25 из 30 экзаменационных вопросов. Экзамен сдан, если он ответит на три вопроса билета.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие - ответил на первый вопрос,

- ответил на второй вопрос,

- ответил на третий вопрос.

 

События и называются независимыми, если условная вероятность при условии наступления события равна безусловной.

ТЕОРЕМА. Если события и независимы, вероятность их произведения равна произведению вероятностей.

 

ЗАДАЧА. Двумя стрелками производится по одному выстрелу по мишени. Вероятности попадания 0,8 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень.

РЕШЕНИЕ. События - попадание первого стрелка, и - попадание второго стрелка, независимы, Таким образом

ЛЕКЦИЯ 4

Формула полной вероятности.

Система событий называется полной группой событий для данного испытания, если любым исходом опыта является одно и только одно событие этой группы. Таким образом, событие достоверно, то есть , и события и попарно несовместны, то есть .

 

 

 

 

Пусть событие может произойти в результате появления одного и только одного события из полной группы событий. События этой группы обычно называют гипотезами.

 

ТЕОРЕМА. Вероятность события равна сумме произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие вероятности события .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как

,

и ввиду несовместности событий , события тоже несовместны.

По теореме сложения вероятностей имеем:

.

По теореме умножения,

Таким образом,

ЗАДАЧА. В партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на первом заводе, 250 на втором и 150 на третьем. Известны также вероятности 0.95, 0.91, 0.93 того, что лампочка окажется стандартного качества при изготовлении её соответственно первым, вторым и третьим заводами. Какова вероятность, что наудачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной?

РЕШЕНИЕ. Пусть событие - лампочка оказалась стандартной.

Событие может произойти, если выполнена одна из гипотез.

- лампочка изготовлена на первом заводе,

- на втором заводе,

- на третьем заводе.

Вероятности гипотез:

.

Условные вероятности события :

Тогда полная вероятность события равна

Формула Байеса.

Имеется полная группа несовместных гипотез , вероятности которых известны до опыта (априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем этому событию гипотезы приписывали определенные вероятности . Необходимо переоценить вероятности гипотез после опыта (апостериори), то есть нужно определить условные вероятности .

По теореме умножения вероятностей имеем:

.

Отсюда следует, что

,

где находим по формуле полной вероятности.

ЗАДАЧА. Пусть при массовом производстве некоторого изделия вероятность того, что оно окажется стандартным, 0.95. Для контроля производится проверка стандартности, которая даёт положительный результат в 99% случаев для стандартных изделий и в 3% случаев для нестандартных. Какова вероятность стандартности изделия, выдержавшего проверку?

РЕШЕНИЕ. Событие - изделие выдержало проверку. Событие может произойти, если выполнена одна из гипотез.

- изделие стандартное,

- изделие нестандартное.

Вероятности гипотез:

.

Условные вероятности события :

Тогда полная вероятность события

 

ЛЕКЦИЯ 5

Повторение опытов.

Пусть производится серия испытаний. В результате каждого отдельного опыта событие А появляется с определенной вероятностью. Нас интересует число появлений события А в серии. Пусть опыты независимы и вероятность появления события А в каждом опыте постоянна.

Схема Бернулли.

ПРИМЕР. Найти вероятность двух попаданий в мишень при трех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна .

РЕШЕНИЕ. Пусть – попадание в цель при -м выстреле. В – два поражения мишени при трех выстрелах.

Так как события независимы,

где - вероятность события .

Пусть производится серия из опытов. Вероятность появления события в каждом опыте равна , вероятность того, что не появится равна . Нужно найти вероятность того, что событие в серии из опытов появится раз.

Рассмотрим событие - появление события ровно раз.

В каждое произведение событие входит раз, событие - раз.

Вероятность любой такой комбинации равна

Число таких комбинаций равно , то есть равно числу способов выбрать опытов из , в которых произошло событие .

Так как комбинации не совместны, то

Следовательно,

Поскольку вероятность представляется членами разложения бинома , то распределение называется биномиальным.

Задача. Вероятность заболеть гриппом равна 0,4. Найти наивероятнейшее число заболеваний гриппом из 5 сотрудников отдела.

Решение.

.

,

,

,

,

.

Таким образом, с наибольшей вероятностью заболеет 2 сотрудника.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Вычисление вероятности по формуле Бернулли становится затруднительным при больших , поскольку . Поэтому на практике применяют приближенные формулы. Одна из них формула Муавра-Лапласа.

где

Функция - четная: ; достигает максимума в точке . При этом быстро стремится к нулю с увеличением абсолютной величины :

 

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-01-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: