Вероятности сложных событий в схеме Бернулли для малого числа испытаний

Лекция 9. Повторение независимых испытаний

Содержание

1. Схема Бернулли. Формула Бернулли

1.1. Схема независимых испытаний Бернулли

1.2. Формула Бернулли

1.3. Вероятности сложных событий в схеме Бернулли для малого числа испытаний

1.4. Наиболее вероятное число успехов

2. Локальная теорема Муавра-Лапласа

2.1. Вычисление при больших и не малых

2.2. Свойства и график функции

3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

3.1. Вычисление при больших

3.2. Свойства и график функции Лапласа

4. Теорема Пуассона

Схема Бернулли. Формула Бернулли

Схема независимых испытаний Бернулли

Производится серия из испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1) каждое испытание имеет два исхода (появление события - «успех» и появление события «не- » = - «неудача») – взаимно несовместных и противоположных события;

2) в каждом испытании вероятность появления события постоянна и равна (), тогда вероятность события равна ;

3) все испытаний независимы, т.е. вероятность наступления события в любом из повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний.

Такая схема называется последовательностью испытаний Бернулли, или схемой Бернулли.

Пример 1. Испытания Бернулли:

1) многократное подбрасывание монеты,

2) многократная стрельба по мишени,

3) проверка деталей на годность (для партии, содержащей достаточно большое количество деталей),

4) телефонные звонки по определенному номеру.

Формула Бернулли

Вероятность того, что событие появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли , где - биномиальный коэффициент; - факториал числа . Считается, что . Вероятности называются биномиальными.

Пример 2. Произведены четыре независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена: 1) три раза; 2) ни разу.

Решение

Последовательность испытаний удовлетворяет всем условиям последовательности повторных независимых испытаний:

§ число испытаний конечно ;

§ каждое испытание заканчивается событием «попадание в мишень», либо - «промах»;

§ вероятность попадания при каждом выстреле , тогда ;

§ все испытания независимы.

1) Применяя формулу Бернулли при , получим:

2) Применяя формулу Бернулли при , получим:

Вероятности сложных событий в схеме Бернулли для малого числа испытаний

1. Обозначим - число наступлений события A в последовательности независимых испытаний. События , , …, образуют полную группу событий (они попарно независимы и в результате испытаний произойдет только одно из них). Значит, сумма этих событий – достоверное событие. Тогда сумма биномиальных вероятностей , , …, , …, равна единице .