Порядок выполнения и защиты типового расчета
1. Выполнение и защита типового расчета проводится по графику самостоятельной работы студентов.
2. Все задачи должны быть решены письменно и подробно. Нумерация задач должна совпадать с их номером в типовом расчете.
3. Во время защиты типового расчета студент должен уметь отвечать на теоретические вопросы, пояснять решения задач, решать задачи аналогичного типа.
4. Типовой расчет следует выполнять в отдельной тетради. Первая страница оформляется по следующему образцу:
| Марийский государственный технический университет Функции нескольких переменных ТИПОВОЙ РАСЧЕТ студента(ки) факультета____________________________________ наименование факультета специальности_____________________________ группы_________ наименование специальности № группы _________________________________________________________ Ф.И.О. полностью |
Вариант 1
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные 
, 
, 
, 
, 
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию 
в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите 
, 
и 
для функция 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности 
, определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями
, 
, 
.
10. Дана функция 
, точка А (1; 1; 2) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции 
в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора 
.
Вариант 2
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию 
в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите 
для функции 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями
, 
, 
.
10. Дана функция 
, точка А (1; 2; 2) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 3
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию 
в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите 
, 
и 
для функция 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, , 
, .
10. Дана функция 
, точка А (1; 2;1) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 4
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию 
в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите для функции 
, если 
, .
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями , , , .
10. Дана функция 
, точка А (3; -1; 1) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 5
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию 
в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите , 
и 
для функция 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, , .
10. Дана функция 
, точка А (-1; -1; 3) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 6
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите для функции 
, если , 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, , .
10. Дана функция 
, точка А (1; -1; 1) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 7
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию 
в своей области определения.
4. Найти полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите , и для функция 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями , 
, , .
10. Дана функция 
, точка А (4; 3; -3) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 8
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите для функции 
, если , 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, , 
.
10. Дана функция 
, точка А (2; 2; 1) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 9
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите , и для функция 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, 
.
10. Дана функция 
, точка А (-3; 1; 2) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 10
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите для функции 
, если , 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, , .
10. Дана функция 
, точка А (1; 0; -3) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 11
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите , и для функция 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, , .
10. Дана функция 
, точка А (1; 2; -1) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 12
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите для функции 
, если 
, .
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, 
.
10. Дана функция 
, точка А (2; -2; 1) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 13
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите , и для функция 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, 
.
10. Дана функция 
, точка А (1; 2; -3) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 14
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите для функции 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, , .
10. Дана функция 
, точка А (1; 2; -1) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 15
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите , и для функция 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, , 
.
10. Дана функция 
, точка А (1; 1; 1) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 16
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите для функции 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями 
, , .
10. Дана функция 
, точка А (1; 3; 4) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функции в точке А по направлению вектора .
Вариант 17
1. Найдите и изобразите область определения функции
.
2. Найдите частные производные , , , ,
функции 
.
3. Покажите, что функция 
удовлетворяет условию в своей области определения.
4. Найдите полный дифференциал функции 
.
5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:
.
6. Найдите , и для функция 
, если 
, 
.
7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке 
к поверхности , определенной неявно уравнением 
.
8. Исследуйте на экстремум функцию 
.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями , , , .
10. Дана функция 
, точка А (-1; -1; 1) и вектор 
.
Вычислите: а) градиент функции в точке А;
б) производную функц<